При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если A,B,C,D,... - некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида . В умножаем числитель и знаменатель на

Пример 1. .

2) В случае дробей вида . Умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель

соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:

Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение . Получаем (при условии, что )

3) В случае выражений типа

знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((20.11), (20.12)). На тот же множитель умножается и числитель.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:

Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:

или окончательно:

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе дроби .

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I {\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Иррациональными являются:

  Примеры доказательства иррациональности

  Корень из 2

  Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален , то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} - целое число , а n {\displaystyle n} - натуральное число .

  Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

  История

  Античность

  Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .

  Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу . Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .

  Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение [ ] .

  Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

  Инструкция

  Прежде чем избавиться от иррациональности в знаменателе , следует ее тип, и в зависимости от этого продолжать решение. И хотя любая иррациональность следует из простого присутствия , различные их комбинации и степени предполагают разные алгоритмы.

  Наличие под чертой дроби корня дробной степени вида m/n, причем n>mЭто выражение выглядит следующим образом:a/√(b^m/n).

  Избавьтесь от подобной иррациональности также путем ввода множителя, на этот раз более сложного: b^(n-m)/n, т.е. из показателя степени самого корня нужно степень выражения под его знаком. Тогда в знаменателе останется только :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b.Пример 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5)/4 = 5 √(16^1/5)/4.

  Сумма квадратных корнейУмножьте обе составляющих дроби на аналогичную разность. Тогда из иррационального сложения корней знаменатель преобразуется в / под знаком корня:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Пример 3: 9/(√13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

  Сумма/разность кубических корнейВыберите в качестве дополнительного множителя неполный квадрат разности, если в знаменателе стоит сумма, и соответственно неполный квадрат суммы для разности корней:a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Пример 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25- ∛20 + ∛16)/9.

  Если в задаче присутствует и квадратный и , тогда разделите решение на два этапа: последовательно выведите из знаменателя квадратный корень, а затем кубический. Делается это по уже известным вам методам: в первом действии нужно выбрать множитель разности/суммы корней, во втором – неполный квадрат суммы/разности.

  Видео по теме

  Источники:

  • как избавиться от иррациональности в дроби

  Совет 2: Как избавиться от иррациональности в знаменателе

  Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе . Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

  Инструкция

  Для начала можно рассмотреть простейший - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - число в .В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель на ее знаменатель. Это обеспечит в знаменателе . Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе .Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.

  Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.

  В более случае в знаменателе присутствует сумма или иррационального и или двух иррациональных чисел.В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от в знаменателе . Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе .Эффект этой хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

  Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно

  Источники:

  • избавиться от корня в знаменателе в 2019

  Совет 3: Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

  Дробь состоит из числителя, расположенного сверху линии, и знаменателя, на который он делится, расположенного внизу. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби с целым числом в числителе и натуральным в знаменателе . Такими числами являются, например, квадратный корень из двух или пи. Обычно, когда говорят об иррациональности в знаменателе , подразумевается корень.

  

  Инструкция

  Избавьтесь от умножением на знаменатель. Таким образом будет перенесена в числитель. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не меняется. Воспользуйтесь этим вариантом, если весь знаменатель представляет собой корень.

  Умножьте числитель и знаменатель на знаменатель нужное число раз, в зависимости от корня. Если корень квадратный, то один раз.

  Умножьте числитель и знаменатель дроби на знаменатель, то есть на √(x+2). Изначальный пример (56-y)/√(x+2) превратится в ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). В итоге получится ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Теперь корень находится в числителе, а в знаменателе нет иррациональности .

  Умножьте знаменатель на сумму корней. Умножьте на то же самое числитель, чтобы значение дроби не изменилось. Дробь примет вид ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

  Воспользуйтесь вышеупомянутым свойством (x+y)*(x-y)=x²-y² и освободите знаменатель от иррациональности . В результате получится ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Теперь корень находится в числителе, а знаменатель избавился от иррациональности .

  В сложных случаях повторяйте оба этих варианта, применяя по необходимости. Учтите, что не всегда возможно избавиться от иррациональности в знаменателе .

  Источники:

  Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают любые числовые или буквенные выражения. Зачастую числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют громоздкий вид, но действия с такими дробями следует совершать по тем же правилам, что и действия с обыкновенными, где числитель и знаменатель - целые положительные числа.

  

  Инструкция

  Если даны дроби , переведите их (дробь, в которой числитель больше знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

  Если надо перевести дробь в неправильную, то представьте ее как числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит после запятой. Например, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 - как 361/100. Оперировать с неправильными зачастую легче, чем со смешанными или десятичными.

  Если надо или вычесть одну дробь из другой, а они имеют разные знаменатели, приведите дроби к общему знаменателю. Для этого найдите число, которое будет наименьшим общим кратным (НОК) обоим знаменателям или нескольким, если дробей больше двух. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

  После знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к каждому слагаемому дополнительные множители - то число, на которое надо домножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить НОК. Последовательно умножайте числители на дополнительные множители, сохраняя знак сложения или вычитания.

  Посчитайте результат, сократите его при необходимости или выделите целую часть. Для примера - необходимо сложить ⅓ и ¼. НОК для обеих дробей - 12. Тогда дополнительный множитель к первой дроби - 4, ко второй - 3. Итого: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

  Если дан на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель результата) и знаменатели (получится знаменатель результата). В этом случае к общему знаменателю их приводить не надо.

  Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Например, выносите общий множитель за скобку или раскладывайте по формулам сокращённого умножения, чтобы затем можно было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД - наименьший общий делитель.

  Обратите внимание

  Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Например, нельзя сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма или разность - 3a±4b.

  Источники:

  • Умножение и деление дробей

  В быту чаще всего встречаются не натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т.д. (5 кг. картофеля), а дробные, нецелые числа (5,4 кг лука). Большинство из них представлены в виде десятичных дробей. Но десятичную дробь представить в виде дроби достаточно просто.

  

  Инструкция

  Например, дано число "0,12". Если не эту дробь и представить ее так, как есть, то выглядеть она будет так: 12/100 ("двенадцать "). Чтобы избавиться от сотни в , нужно и числитель, и знаменатель поделить на число, которое делит их числа. Это число 4. Тогда, поделив числитель и знаменатель, получается число: 3/25.

  Если рассматривать более бытовую , то часто на ценнике у видно, что вес его составляет, к примеру, 0,478 кг или пр. Такое число тоже легко представить в виде дроби :
  478/1000 = 239/500. Дробь эта достаточно некрасивая, и если бы была возможность, то эту десятичную дробь можно было бы сокращать и далее. И все тем же методом: подбора числа, которое делит как числитель, так и знаменатель. Это число наибольшим общим множителем. "Наибольшим" множитель потому, что гораздо удобнее и числитель, и знаменатель сразу поделить на 4 (как в первом примере), чем делить дважды на 2.

  Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. Натуральные числа, это числа которые мы используем для счета предметов: 1,2,3,4, … В некоторых источниках, к натуральным числам относят также число 0.

  Множество всех целых чисел обозначается буквой Z. Целые числа это все натуральные числа, нуль и отрицательные числа:

  1,-2,-3, -4, …

  Теперь присоединим к множеству всех целых чисел множество всех обыкновенных дробей: 2/3, 18/17, -4/5 и та далее. Тогда мы получим множество всех рациональных чисел.

  Множество рациональных чисел

  Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q. Множество всех рациональных чисел (Q) - это множество, состоящее из чисел вида m/n, -m/n и числа 0. В качестве n,m может выступать любое натуральное число. Следует отметить, что все рациональные числа, можно представить в виде конечной или бесконечной ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ десятичной дроби. Верно и обратное, что любую конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде рационального числа.

  А как же быть например с числом 2.0100100010… ? Оно является бесконечно НЕПЕРЕОДИЧСЕКОЙ десятичной дробью. И оно не относится к рациональным числам.

  В школьном курсе алгебры изучаются только вещественные (или действительные) числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Множество R состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.

  Понятие иррациональных чисел

  Иррациональные числа - это все бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа не имеют специального обозначения.

  Например, все числа полученные извлечением квадратного корня из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел - будут иррациональными. (√2, √3, √5, √6, и т.д.).

  Но не стоит думать, что иррациональные числа получаются только извлечением квадратных корней. Например, число «пи» тоже является иррациональным, а оно получено делением. И как вы не старайтесь, вы не сможете получить его, извлекая квадратный корень из любого натурального числа.