Многие сталкиваются с изменчивостью изучаемого признака у отдельных единиц совокупности, его колебанием относительно некоторого значения, то есть с его вариацией. Вот ее-то и следует обязательно учитывать, чтобы получить наиболее достоверные сведения о ходе выполнения того или иного научного исследования.

Большинство исследователей, производя определение интервала изменения значения того или иного параметра, чаще всего прибегают к абсолютным и Среди последних наибольшее распространение получил коэффициент вариации, который в случае, если исследуемая величина характеризуется нормальным распределением, является критерием однородности совокупности. Данный показатель позволяет определить, какую степень разбросанности будут иметь значения исследуемого параметра, не обращая внимания на масштаб и единицу измерения.

Коэффициент вариации можно вычислить, разделив на среднее арифметическое значение переменной, выраженное в процентах. Результат данного вычисления может попадать в интервал от нуля до бесконечности, возрастая по мере увеличения вариации признака. Если полученное значение менее 33,3% - вариация признака слабая. Если больше - сильная. В последнем случае исследуемая совокупность данных является неоднородной, ее признается нетипичной, а потому не может быть обобщающим показателем. Поэтому для данной совокупности стоит применить другие показатели.

Стоит отметить, что коэффициент вариации не только характеризует однородность некоторой совокупности, но также применяется в качестве сравнительной ее оценки. Например, его применяют, если необходимо колебания того или иного признака в совокупностях, для которых рассчитанная величина среднего значения различна. В этом случае разброс полученных данных не позволяет произвести объективную оценку обретенного значения. Коэффициент вариации характеризует относительную изменчивость переменной, а потому может являться относительной мерой колебания значения изучаемого параметра.

Однако здесь существуют некоторые ограничения. В частности, оценить степень колебания значений параметра можно лишь для конкретного признака и если совокупность имеет определенный состав. При этом равенство данных показателей может свидетельствовать как о сильной, так и о слабой вариации. Это в случае, если признаки различны или исследования проводятся на разных совокупностях. Такой результат формируется под действием весьма объективных причин, и это следует обязательно учитывать во время обработки полученных экспериментальных данных.

Коэффициент вариации находит широкое применение при проведении в различных отраслях науки и техники. В том числе, его активно задействуют при выполнении оценки колебания параметров в экономике и социологии. При этом применение коэффициента делается невозможным в случае, если необходимо дать оценку изменчивости переменных, которые способны менять свой знак на противоположный. Ведь тогда в результате расчетов будут получены некорректные значения данного показателя: либо оно будет очень маленьким, либо будет иметь отрицательный знак. В последнем случае стоит проверить правильности выполненных расчетов.

Таким образом, можно сказать, что коэффициент вариации - это параметр, который позволит вам оценить степень разброса и относительную изменчивость средней величины. Применение данного показателя позволяет выявить наиболее значимые факторы, акцентирование внимания на которых позволит достичь поставленных целей и решить необходимые задачи.

Вариация измеряется с помощью относительных величин, называемых коэффициентами вариации и определяемых в виде отношения среднего отклонения к средней величине. Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 100% и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации:

Коэффициент вариации:

где - среднее квадратическое отклонение, - средняя арифметическая.

Линейный коэффициент вариации:

где - среднее линейное отклонение.

Коэффициент осцилляции:

где - размах вариации.

Вычислим коэффициенты вариации для группы организаций по грузообороту автомобильного транспорта (таблица 5.1) по формулам 5.9, 5.10, 5.11

Коэффициент вариации будет равен: , что превышает 33%, следовательно, совокупность неоднородна.

Вычислим линейный коэффициент вариации: . Следовательно, доля усредненного значения абсолютных отклонений организаций от средней величины равна 30,7%

Найдем коэффициент осцилляции: . Из этого следует, что разница между максимальным и минимальным значениями организаций превышает среднее значение почти в 1,078 раз.

Определим коэффициенты вариации для группировки площадей жилых помещений (в среднем на одного жителя) (таблица 5.3).

Вычислим коэффициент вариации по формуле (5.9):

. Это значит что коэффициент вариации не превышает 33%, следовательно, совокупность однородна.

Рассчитаем линейный коэффициент вариации по формуле (5.10):

. Это значит, что доля усредненного значения абсолютных отклонений площадей жилых помещений от средней величины равна 5,56%.

Найдем коэффициент осцилляции по формуле (5.11):

. Разница между максимальным и минимальным значениями площадей жилых помещений не превышает среднее значение.

РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Немного больше по теме

Политическая экономия Д. Рикардо как идеолога промышленного переворота
В последней трети XVIII в. в Англии начался промышленный переворот (промышленная революция). В течение нескольких десятилетий в легкой промышленности одно изобретение следовало за другим. Весь процесс производства в этой отрасли был переведен на машинную основу. Постепенно переворот распространился на другие отрасли легкой, а затем и тяжелой промышленности. Начался повсеместный пе...

Нам приходится сталкиваться с расчётом таких значений, как дисперсия, среднеквадратичное отклонение и, разумеется, коэффициент вариации. Именно расчёту последнего стоит уделить особое внимание. Очень важно, чтобы каждый новичок, который только приступает к работе с табличным редактором, мог быстро подсчитать относительную границу разброса значений.

Что такое коэффициент вариации и для чего он нужен?

Итак, как мне кажется, нелишним будет провести небольшой теоретический экскурс и разобраться в природе коэффициента вариации. Этот показатель необходим для отражения диапазона данных относительно среднего значения. Иными словами, он показывает отношение стандартного отклонения к среднему значению. Коэффициент вариации принято измерять в процентном выражении и отображать с его помощью однородность временного ряда.

Коэффициент вариации станет незаменимым помощником в том случае, когда вам необходимо будет сделать прогноз по данным из заданной выборки. Этот индикатор выделит главные ряды значений, которые будут наиболее полезными для последующего прогнозирования, а также очистит выборку от малозначительных факторов. Так, если вы видите, что значение коэффициента равно 0%, то с уверенностью заявляйте о том, что ряд является однородным, а значит, все значения в нём равны один с другим. В случае, если коэффициент вариации принимает значение, превышающее отметку в 33%, то это говорит о том, что вы имеете дело с неоднородным рядом, в котором отдельные значения существенно отличаются от среднего показателя выборки.

Как найти среднее квадратичное отклонение?

Поскольку для расчёта показателя вариации в Excel нам необходимо использовать среднее квадратичное отклонение, то вполне уместно будет выяснить, как нам посчитать этот параметр.

Из школьного курса алгебры мы знаем, что среднее квадратичное отклонение - это извлечённый из дисперсии квадратный корень, то есть этот показатель определяет степень отклонения конкретного показателя общей выборки от её среднего значения. С его помощью мы можем измерить абсолютную меру колебания изучаемого признака и чётко её интерпретировать.

Рассчитываем коэффициент в Экселе

К сожалению, в Excel не заложена стандартная формула , которая бы позволила рассчитать показатель вариации автоматически. Но это не значит, что вам придётся производить расчёты в уме. Отсутствие шаблона в «Строке формул» никоим образом не умаляет способностей Excel, потому вы вполне сможете заставить программу выполнить необходимый вам расчёт, прописав соответствующую команду вручную.

Для того чтобы рассчитать показатель вариации в Excel, необходимо вспомнить школьный курс математики и разделить стандартное отклонение на среднее значение выборки. То есть на деле формула выглядит следующим образом - СТАНДОТКЛОН(заданный диапазон данных)/СРЗНАЧ(заданный диапазон данных). Ввести эту формулу необходимо в ту ячейку Excel, в которой вы хотите получить нужный вам расчёт.

Не забывайте и о том, что поскольку коэффициент выражается в процентах, то ячейке с формулой нужно будет задать соответствующий формат. Сделать это можно следующим образом:

1. Откройте вкладку «Главная».
2. Найдите в ней категорию «Формат ячеек » и выберите необходимый параметр.

Как вариант, можно задать процентный формат ячейке при помощи клика по правой кнопке мыши на активированной клеточке таблицы. В появившемся контекстном меню, аналогично вышеуказанному алгоритму нужно выбрать категорию «Формат ячейки» и задать необходимое значение.

Выберите «Процентный», а при необходимости укажите число десятичных знаков

Возможно, кому-то вышеописанный алгоритм покажется сложным. На самом же деле расчёт коэффициента так же прост, как сложение двух натуральных чисел. Единожды выполнив эту задачу в Экселе, вы больше никогда не вернётесь к утомительным многосложным решениям в тетрадке.

Всё ещё не можете сделать качественное сравнение степени разброса данных? Теряетесь в масштабах выборки? Тогда прямо сейчас принимайтесь за дело и осваивайте на практике весь теоретический материал, который был изложен выше! Пусть статистический анализ и разработка прогноза больше не вызывают у вас страха и негатива. Экономьте свои силы и время вместе с

представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему ожидаемому значению и показывает степень отклонения получаемых результатов.
V = -* 100%, Х
гдеV - коэффициент вариации, %;
G- среднее квадратическое отклонение;
X - среднее ожидаемое значение.
Так как коэффициент вариации - величина относительная, то на его размер не оказывают влияние абсолютные значения изучаемого показателя. С помощью коэффициента вариации можно сравнивать даже колебле-
мость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется в пределах от 0 до 100%, при этом, значение коэффициента прямо пропорционально силе колеблемости. Установлена следующая качественная оценка различных коэффициентов вариации:
до 10% - слабая колеблемость;
10-25% - умеренная колеблемость;
свыше 25% - высокая колеблемость.
В качестве варианта может быть использован несколько упрощенный метод определения степени риска. Так как количественно риск характеризуется оценкой вероятной величины максимального и минимального результатов, то «чем больше диапазон между этими величинами при равной их вероятности, тем выше степень риска»1 . Тогда для расчета дисперсии можно использовать следующую формулу:
&2 = PMAX * (max - XУ + Pmin * (X - Xmin У,
2
гдеа2 - дисперсия;
Pmax - вероятность получения максимального результата;
Xmax - максимальная величина результата;
X - средняя ожидаемая величина результата;
Pmjn - вероятность получения минимального результата;
Xmjn - минимальная величина результата.
Полученные показатели следует учитывать в комплексе, так как использование отдельного критерия оценки риска не может служить основой принятия решения в пользу какой-либо стратегии.
В практике встречаются ситуации, когда отсутствует информация о вероятностях состояний среды, т.е. необходима оценка риска в условиях полной неопределенности - (2). В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Применение каждого из перечисленных критериев рассмотрим на примере матрицы выигрышей А (1) и матрицы рисков R (2).

Еще по теме Коэффициент вариации:

1. ВАРИАЦИИ В СТРУКТУРЕ И СТРУКТУРНО-ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВАРИАЦИИ
2. 1.2.10. Определение. Если существует производная функциив точке, то она называется первой вариацией функционала в точке при данной вариации аргумента, и обозначается:

Показатели вариации

Понятие вариации

Вариация - это наличие различий у отдельных единиц сово­купности по какому-либо признаку.

Эта категория занимает особое место в статистической науке, ибо именно наличие вариации единиц совокупности предопределяет необходимость статистики. Если бы отдельные единицы сово­купности имели они и те же значения признаков (например, рост, возраст у всех живущих людей был бы одинаковый), то для изу­чения данной совокупности по этим признакам достаточно было бы изучить только одну единицу совокупности. Однако зачастую значения признаков колеблются, изменяются при переходе от од­ной единицы к другой. Как правило, вариация является порожде­нием следующих причин:

Своеобразие условий, в которых происходит развитие от­дельных единиц совокупности;

Неравномерность развития отдельных единиц.

Например, причиной вариации роста у отдельно взятых людей является генетическая особен­ность каждого организма (основная причина), особенности питания, экологическая обстановка и т.д.; вариация урожайности может быть вызвана климатическими, почвенными особенностями зоны про­израстания, режима и возможности полива, качеством посадочного материала и т.д.

Вариация существует во времени и в пространстве.

Под вариаци­ей в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям (урожайность пшеницы в разных ре­гионах).

Под вариацией во времени подразумевается объективное измене­ние значений признака в разные периоды (или моменты). Напри­мер, со временем изменяется средняя продолжительность пред­стоящей жизни, доходность предприятий отрасли, уровень по­требностей людей и т.д.

Изучение вариации имеет важное значение, так как вариация ха­рактеризует степень однородности совокупности. Однородность совокупности - необходимое условие при расчете большинства статистических показателей, в частности средних величин.

Показатели вариации

Показатели вариации являются необходимым дополнением при расчете средних величин, так как определяют степень однород­ности совокупности.

Система показателей вариации включает следующее:

Размах вариации;

Среднее квадратическое отклонение;

Дисперсия;

Коэффициент вариации.

Значение показателей вариации:

Характеризуются размеры вариации признака;

Показатели вариации дополняют систему средних величин, в которой затушевываются индивидуальные различия;

Показатели вариации позволяют охарактеризовать уровень однородности совокупности;

С помощью показателей вариации, путем сравнения вариа­ции у отдельных признаков (разных), есть возможность измерить взаимосвязь между этими признаками.

Первый показатель, так называемый размах вариации, - наи­более простой из показателей, характеризует абсолютные разме­ры изменения признака и определяется как разница максимально­го и минимального значений признака:

Несмотря на простоту расчета, этот показатель имеет важный не­достаток - учитывает только два приграничных значения. В случае аномальности одного или двух приграничных значений, он может исказить действительную вариацию совокупности.

Для того чтобы избавиться от этого недостатка, рассчитывают отклонение каждой индивидуальной величины от средней по со­вокупности. Таким образом, учитывается значение каждой еди­ницы совокупности. Для того чтобы охарактеризовать это откло­нение одним числом, рассчитывают среднюю из этих значений. Данный показатель носит название среднее абсолютное (линей­ное) отклонение и определяется следующим образом:

Простой вид;

- взвешенный вид (для сгруппированных данных);

где d(L) - среднее абсолютное (линейное) отклонение;

х - индивидуальное значение признака (варианта);

Среднее из значений признака;

п - численность совокупности;

f - частота.

Среднее линейное отклонение характеризует средний размер отклонений индивидуальных значений признака от средней вели­чины. Таким образом, он характеризует абсолютные размеры ва­риации, имеет те же единицы измерения, что и признак, вариа­цию которого характеризует.

Недостаток: ввиду того, что применяется модуль, затруднено проведение математических операций. Поэтому он применяется редко.

Для того чтобы избавиться от недостатка предыдущего показате­ля, разницу между индивидуальным значением и средней возве­дем в квадрат и затем извлечем корень квадратный из полученно­го среднего значения. Полученный показатель будет называться среднее квадратическое отклонение:

- простая.

- взвешенная.

Играет ту же роль, что и среднее абсолютное отклонение, но, имеет перед ним одно преимущество, а именно, с ним проще проводить математические операции. Ввиду этого в 90 случаях из 100 используется этот показатель.

Еще более удобный для математических преобразований показа­тель вариации - дисперсия, который представляет собой сред­нее квадратическое отклонение в квадрате:

- простая,

- взвешенная.

С помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения измеряются взаимосвязи между различными признаками. Кроме того, по этим показателям можно сравнивать совокупности в смысле их однородности по одинаковым признакам.

Вывод об однородности совокупности позволяет сделать коэффициент вариации , который может быть рассчитан несколькими способами в зависимости от исходной информации:

Характеризует средний процент отклонений индивидуальных значений признака от средней величины.

,

,

,

где V – коэффициент вариации;

σ – среднее квадратическое отклонение;

d (L) – среднее линейное отклонение;

Х МО – мода (структурная средняя);

Х МЕ – медиана(структурная средняя).

Коэффициент вариации имеет большое значение. Он позволяет сравнивать уровень вариации по различным признакам и используется для характеристики однородности совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность однородна.

Пример расчета показателей вариации.

Распределение студентов вуза по возрасту характеризуются следующими данными (табл. 1):

Таблица 1

Рассчитайте показатели, характеризующие вариацию возраста студентов для каждой формы

обучения. Сравните полученные результаты.

Рассчитаем показатели вариации, характеризующие совокупность студентов очно-заочной формы

обучения.

1. Размах вариации:

R = x max – x min = 31 - 18,5 = 12,5 (лет)

2. Средняя арифметическая:

3. Среднее линейное отклонение:

Возраст отдельно взятого студента отклоняется от среднего по совокупности возраста - 27 лет - на 3 года. То есть можно утверждать, что возраст наибольшего числа студентов не будет выходить за границы интервала: от 24,3 до 30,4 лет.

27,36 - 3,07 < 27,36 < 27,36+ 3,07.

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение также характеризует абсолютную величину отклонения индиви­дуального значения от средней. Как правило, значение среднего квадратического отклонения больше среднего линейного отклонения.

Дисперсия:

=13,899

Характеризует квадрат отклонений индивидуального значения от средней величины. Коэффициент вариации:

Средний процент отклонений индивидуальных значений от средней величины составляет 13,6%. Со­вокупность однородна. Сделаем аналогичные расчеты по совокупности студентов дневного отделения. Получаем следующие результаты:

d(L) = 3,40

V = 21,9%

На основании приведенных расчетов можно сделать вывод о том, что совокупность студентов очно-заочного отделения более однородная.

Расчет показателей вариации - достаточно трудоемкий процесс. В некоторых случаях, когда имеется ряд показателей с равноот­стоящими моментами времени или равноинтервальный ряд рас­пределения, расчет может быть упрощен. Сокращенные способы расчета дисперсии базируются на знании свойств дисперсии. Свойства дисперсии:

Если от всех значений варианты х отнять (прибавить) по­стоянное число А, то дисперсия не изменится;

Если каждое значение варианты разделить (умножить) на постоянную величину к, то дисперсия уменьшится (увеличится) в к 2 раз.

Сокращенные способы расчета дисперсии:

2. Способ моментов – применяется только в случае равенства интервалов.