Однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:
«Снайперское» математическое ожидание равно , однако и у «интересной личности»: – оно тоже нулевое!
Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия .
Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока:
Там мы нашли неутешительное математическое ожидание этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через .
Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием :
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше)
разности составят 
, и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.
Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули
разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей:
И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное
значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание
, которое и является мерилом рассеяния:
– определение
дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной
– возьмите на заметку для практики!
Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы)
:
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:
Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением
и обозначается греческой буквой «сигма»:
Иногда это значение называют стандартным отклонением .
В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:
– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем:
Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:
Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина) . Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.
Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне , и посмотрим, что здесь к чему:
Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, где за 1 раз он не проигрывает/выигрывает слишком много. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины ) .
Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл» , в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.
Показательна ситуация в покере: здесь есть так называемые тайтовые игроки, которые склонны осторожничать и «трястись» над своими игровыми средствами (банкроллом) . Неудивительно, что их банкролл не подвергается значительным колебаниям (низкая дисперсия). Наоборот, если у игрока высокая дисперсия, то это агрессор. Он часто рискует, делает крупные ставки и может, как сорвать огромный банк, так и програться в пух и прах.
То же самое происходит на Форексе, и так далее – примеров масса.
Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание .
Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:
Формула для нахождения дисперсии
Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:
и найденное матожидание .
Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание – квадрата случайной величины . По определению математического ожидания
:
В данном случае:
Таким образом, по формуле:
Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).
Осваиваем технику решения и оформления:
Пример 6
Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями:)
Решение
: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения , затем и, наконец, суммы в правом столбце:
Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: 
.
Дисперсию вычислим по формуле:
И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.
Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:
вот здесь уже трудно ошибиться:)
Ответ :
Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо) , который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём) . Программу можно скачать в библиотеке – если вы загрузили хотя бы один учебный материал, либо получить другим способом . Спасибо за поддержку проекта!
Пара заданий для самостоятельного решения:
Пример 7
Вычислить дисперсию случайной величины предыдущего примера по определению.
И аналогичный пример:
Пример 8
Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:
Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы) , и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.
Решения и ответы внизу страницы.
В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:
Пример 9
Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причём . Известна вероятность , математическое ожидание и дисперсия .
Решение
: начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:
и поскольку , то .
Осталось найти …, легко сказать:) Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
– подставляем известные величины:
– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:
или: 
О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:
Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10:
и делим на 2:
Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
(это более простой путь)
– подставляем во 2-е уравнение:
Возводим в квадрат
и проводим упрощения:
Умножаем на :
В результате получено квадратное уравнение
, находим его дискриминант:
– отлично!
и у нас получается два решения:
1) если 
, то 
;
2) если 
, то .
Условию удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:
и выполним проверку, а именно, найдём матожидание:
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
так как М(Х)
, 2 и
–
постоянные величины. Таким образом,
4.2.2. Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.
Доказательство
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то
Доказательство
. Обозначим
.
Тогдаи.
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
Пример 4.5.
Еслиa
иb
– постоянные,
тоD(a
Х+
b
)=
D
(a
Х)+
D
(b
)=
.
4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия, как
характеристика разброса случайной
величины, имеет один недостаток. Если,
например, Х
– ошибка измерения имеет размерность
ММ
,
то дисперсия имеет размерность
.
Поэтому часто предпочитают пользоваться
другой характеристикой разброса –средним
квадратическим отклонением
,
которое равно корню квадратному из
дисперсии
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:
Так как опыты независимы, то и связанные
с опытами случайные величины
независимы. А в силу независимости
имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)
|
| ||
и
(пример 4.4). Поэтому, по определению
дисперсии:
где q =1- p .
В итоге имеем
,
Среднее квадратическое отклонение
числа появлений события в n
независимых опытах равно
.
4.3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным
моментом
k
Х
(
)
называется математическое ожиданиеk
-й
степени этой случайной величины.
Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F
(х)
для
полученного распределения дискретной
случайной величиныХ
и начертить
ее график. Найти математическое ожиданиеM
(X
)
,
дисперсиюD
(X
)
и среднее квадратическое отклонение
(Х
)
случайной величиныX
.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:
Получим вероятности возможных значений Х :;
Составим искомый закон распределения случайной величины Х :
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
2) Если х
0,
то F
(х)
=0.
Действительно, значений, меньших нуля,
величина Х
не принимает. Следовательно, при всех
х
0
, пользуясь определениемF
(х)
,
получим F
(х)
=P
(X
<
x
)
=0
(как вероятность невозможного события).
Если 0
,
тоF
(X
)
=0,216.
Действительно, в этом случаеF
(х)
=P
(X
<
x
)
=
=P
(-
<
X
0)+
P
(0<
X
<
x
)
=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.
Если 1
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2
,
то рассуждая аналогично, получимF
(х)
=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х
=3. ТогдаF
(3)=P
(X
<3)
выражает вероятность событияX
<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функцииF
(х)
.
Если x
>3, тоF
(х)
=0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Действительно, событиеX
является
достоверным и вероятность его равна
единице, аX
>3 –
невозможным. Учитывая, что
F
(х)
=P
(X
<
x
)
=P
(X
3)
+
P
(3<
X
<
x
)
,
получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F
(x
)
=
график которой изображен на рис. 4.2.
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х) =0=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D
(X
)=
M
(X
-
M
(X
))
или воспользоваться формулойD
(X
)=
M
(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной
величины Х
:
Найдем математическое ожидание для Х
:
М(Х
)
= 04
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D
(X
)
=
M
(X
)
– (M
(X
))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X
)
=
= 0,848.
Интервал (M
-
;
M
+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величиныХ
, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :
f
(x
)
=
1) Определить постоянный параметр a .
2) Найти интегральную функцию F (x ) .
3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .
4) Найти двумя способами вероятности
Р(0,5<
X
1,5)
иP
(1,5<
X
<3,5)
.
5). Найти математическое ожидание М(Х)
,
дисперсиюD
(Х)
и
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ
.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству
f
(x
)
должна удовлетворять условию
.
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :
Подставляя этот результат в левую часть
равенства, получим, что а
=1. В условии
дляf
(x
)
заменим параметра
на 1:
2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:
3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,
b
)
вычисляется по формуле
,
если известнафункция
f
(x
),
и по формуле P
(a
<
X
<
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
),
если известна
функция
F
(x
).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условиюа=0,5;
b
=1,5;
функцияf
(X
)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:
Так какF (0,5)=0.
Аналогично находим
так как F (3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х)
воспользуемся формулой
Функцияf
(x
)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия
непрерывной случайной величиныD
(Х)
определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для
нахожденияD
(X
)
воспользуемся последней формулой и
учтем, что все возможные значенияf
(x
)
принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М-
,М+
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.
Сначала рассмотрим дисперсию , затем стандартное отклонение .
Дисперсия выборки
Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, sample variance ) характеризует разброс значений в массиве относительно .
Все 3 формулы математически эквивалентны.
Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.
дисперсии выборки используется функция ДИСП() , англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В() , англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В() , у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР() .
Дисперсию выборки
=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)
=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1)
– обычная формула
=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1
) –
Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению . Обычно, чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве.
Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка . О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье .
Дисперсия случайной величины
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее .
Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]
дисперсия вычисляется по формуле:
где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.
Если случайная величина имеет , то дисперсия вычисляется по формуле:
Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .
Некоторые свойства дисперсии :
Var(Х+a)=Var(Х), где Х - случайная величина, а - константа.
Var(aХ)=a 2 Var(X)
Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)-2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию .
Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y - случайные величины, Cov(Х;Y) - ковариация этих случайных величин.
Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе .
Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1) 2 Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения .
Стандартное отклонение выборки
Стандартное отклонение выборки - это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их .
По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :
Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.
Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) - отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому , выраженного в процентах.
В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН() , англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В() , англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.
Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.
Стандартное отклонение
можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера
)
=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
Другие меры разброса
Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму квадратов отклонений значений от их среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г(Выборка )*СЧЁТ(Выборка ) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:
Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.
Вычисления в функции СРОТКЛ () производятся по формуле:
Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений , принимаемых случайной величиной ξ , вокруг её математического ожидания.
Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.
D ξ = M(ξ-M ξ) 2 . (1)
Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.
называется средним квадратичным отклонением
величины ξ .
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ , то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.
Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».
Действительно, если
ξ = С, то Mξ = C и, значит Dξ = M(C-C ) 2 = M 0 = 0.
2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C 2
D(Cξ ) = C 2 Dξ . (3)
Действительно
D(Cξ) = M(C
= M(C .
3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:
. (4)
Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания.
Мы имеем:
4. Если величины ξ 1 и ξ 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:
Доказательство . Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 , тогда.
Формула (5) доказана.
Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ -m ) 2 , где m = Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.
Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения
| x 1 | x 2 | ... |
| p 1 | p 2 | ... |
то будем иметь:
. (7)
Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x) , тогда получим:
Dξ
= 
. (8)
Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:
, (9)
если величина ξ дискретна, и
Dξ
= 
, (10)
если ξ распределена с плотностью p (x ).
Пример 1 . Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b ]. Воспользовавшись формулой (10) получим:
Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью
p(x) = , (11)
равна σ 2 .
Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ .
Пример 2 . Найти дисперсию случайной величины ξ , распределенной по биномиальному закону.
Решение . Воспользовавшись представлением ξ в виде
ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξ n (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим
Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξ n .
Дисперсия любой из величин ξ i (i = 1,2, n ) подсчитывается непосредственно:
Dξ i = M(ξ i ) 2 - (Mξ i ) 2 = 0 2 · q + 1 2 p - p 2 = p (1-p ) = pq .
Окончательно получаем
Dξ = npq , где q = 1 - p .
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
- Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
- Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример
. Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример №1 .
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
| Х | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| р | а | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Пример №3
. Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1
Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
