Понятие «высказывание» первично. Под высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Любое высказывание либо истинно, либо ложно, и никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.
Примеры высказываний: есть четное число», «1 есть простое число». Истинностное значение первых двух высказываний - «истина», истинностное значение последних двух
Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Определения не являются высказываниями. Например, определение «целое число называется четным, если оно делится на 2» не является высказыванием. Однако повествовательное предложение «если целое число делится на 2, то оно четное» есть высказывание, и притом истинное. В логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания, ограничиваясь рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
В дальнейшем будем понимать под значением высказывания его истинностное значение («истина» или «ложь»). Высказывания будем обозначать прописными латинскими буквами, а их значения, т. е. «истина» или «ложь» - соответственно буквами И и Л.
Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части, внутренняя структура которых нас не будет интересовать.
Логические операции над высказываниями.
Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно составляющих рассматриваемое сложное высказывание. В правом столбце пишут истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.
Пусть А и В - произвольные высказывания, относительно которых мы не предполагаем, что известны их истинностные значения. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, истинное тогда и только тогда, когда А ложно. Отрицание А обозначается через и читается «не A» или «неверно, что А». Операция отрицания полностью определяется истинностной таблицей
Пример. Высказывание «неверно, что 5 - четное число», имеющее значение И, есть отрицание ложного высказывания «5 - четное число».
С помощью операции конъюнкции из двух высказываний получается одно сложное высказывание, обозначаемое А Д В. По определению, высказывание А Д В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами конъюнкции А Д В. Запись «А Д В» читается как «Л и В». Истинностная таблица для конъюнкции имеет вид
Пример. Высказывание «7 - простое число и 6 - нечетное число» ложно, как конъюнкция двух высказываний, одно из которых ложно.
Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое , истинное в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний А и В истинно.
Соответственно этому высказывание А V В ложно в том и только том случае, когда и А и В оба ложны. Высказывания А и В называются соответственно первым и вторым членами дизъюнкции А V В. Читается запись А V В как «A или В». Союз «или» в данном случае носит неразделительный смысл, поскольку высказывание А V В истинно и при истинности обоих членов. Дизъюнкция имеет следующую истинностную таблицу:
Пример. Высказывание «3 Высказывание, обозначаемое , ложное в том и только в том случае, когда А истинно, а В ложно, называется импликацией с посылкой А и заключением В. Высказывание А-+ В читается как «если А, то 5», или «A влечет В», или «из A следует В». Истинностная таблица для импликации такова:
Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать причинно-следственные связи, но это не может повлиять на истинность или ложность импликации. Например, высказывание «если 5 - простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого. Истинным также будет высказывание «если 2 + 2 = 5, то 6 + 3 = 9», поскольку истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».
Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.
Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.
Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.
Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.
Логические операции над высказываниями
Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".
Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".
Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3
Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.
Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.
Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.
Пусть даны два произвольных высказывания A и B .
1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
| A | ~ A |
| Л | И |
| И | Л |
5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
| Связка | Обозначение | Название операции |
| не | отрицание | |
| и | конъюнкция | |
| или | дизъюнкция | |
| если..., то... | импликация | |
| тогда и только тогда | эквивалентность |
Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1.
1) (2 = 2) И (7 = 7) ;
2) Не(15 ;
3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;
4) Не("Сосна" = "Дуб") ;
5) (Не(15 20) ;
6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;
7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .
1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
1) "Пользователь не зарегистрирован";
2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";
3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".
1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;
2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;
3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .
Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;
2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;
3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;
4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
Пример 5. Определите логическое значение выражения
(p → q ) ↔ (r → s ) ,
p = "278 > 5" ,
q = "Яблоко = Апельсин" ,
p = "0 = 9" ,
s = "Шапка покрывает голову" .
Формулы логики высказываний
Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .
В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.
Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы
p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...
Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .
Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций
~, ∧, ∨, →, ↔,
а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.
Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:
1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;
2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).
Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:
6) 
.
1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";
2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";
3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";
4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";
5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";
6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".
Пример 7.
Составьте таблицу истинности для формулы
логики высказываний 
, которую в
таблице можно обозначить f
.
Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".
| p | q | r | f | ||||
| И | И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | Л | И |
| И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | И | Л | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | Л | И |
Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.
Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что
1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;
2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.
Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:
B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )
B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))
(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))
Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.
Тавтологии и противоречия
Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.
Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .
Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .
Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.
Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.
Пример 1. Установить истинность высказывания · С Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С.
В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой. При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.
| А | В | С | А+ | · С | ||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Еще по теме 1. Установление истинности сложных высказываний.:
- 29. Проблема разрешимости в алгебре высказываний(АВ). Алгоритмы проверки формул алгебры высказываний на тождественную истинность: составление таблицы истинности, выполнение равносильных преобразований (анализ КНФ), алгоритм редукции, алгоритм Квайна. Преимущества и недостатки указанных методов.
- Вопрос 6. Исчисление высказываний. Аксиомы. Правило вывода. Вывод. Тождественная истинность выводимых формул (доказать). Непротиворечивость исчисления высказываний. Теорема о полноте исчисления высказываний. Проблема разрешимости. Исчисление высказываний. Проблема разрешимости
Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.
Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.
Принципы теории
Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».
Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.
Определение истинности
Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».
Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.
Простые высказывания
В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.
Пример высказывания
Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:
- невозможно наблюдать частицу;
- можно наблюдать частицу.
Второй вариант предполагает определенные возможности:
- частица реально находится в определенной области пространства;
- ее нет в предполагаемой части пространства;
- частица движется так, что сложно определить область ее расположения.
В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.
Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.
Двузначности принцип
В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».
Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.
Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.
В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.
Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.
Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.
Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.
Принцип многозначности
Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.
В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».
Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.
Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.
Семантика логических знаков
Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.
Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.
На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.
В данной методике выделяют две основные области:
- теорию обозначения (референции);
- теорию смысла.
Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.
Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.
Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.
Логическое уравнение
Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.
Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.
В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.
Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.
Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.
При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.
Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:
- «не»,
- «неверно, что…»,
- «или».
Заключение
Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.
Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.
Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.
Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.
Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.
Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».
Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.
План
Высказывания с внешним отрицанием.
Конъюнктивные высказывания.
Дизъюнктивные высказывания.
Строго-дизъюнктивные высказывания.
Высказывания об эквивалентности.
Импликативные высказывания.
Высказывания с внешним отрицанием.
Высказывание с внешним отрицанием - это высказывание (суждение), в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации. Оно чаще всего выражается предложением, начинающимся словосочетанием “неверно, что...” или “неправильно, что...”. Внешнее отрицание обозначается символом “ù ”, называемым знаком отрицания. Этот знак определяется следующей таблицей истинности:
В высказываниях с внешним отрицанием отрицается ситуация в А. Например, если А: “Волга впадает в Черное море”, то ùА: “Неверно, что Волга впадает в Черное море”.
Конъюнктивные высказывания.
Конъюнктивными высказываниями являются такие, в которых утверждается одновременное наличие двух ситуаций. Конъюнктивные высказывания образуются из двух высказываний при помощи союзов “и”, “а”, “но”. Форма конъюнктивного высказывания: (А&В). Каждое из высказываний А и В может принимать как значение “истина”, так и значение “ложь”. Эти значения для краткости обозначаются буквами и, л . Таблица истинности для конъюнктивных высказываний имеет следующий вид:
В конъюнктивных высказываниях утверждается, что ситуация, описанная в А и в В имеют место одновременно. Примеры конъюнктивных высказываний: “Земля - планета, а Луна - спутник”; “Петров хорошо освоил логику, но Сидоров освоил логику плохо”; “На улице темно, и в аудитории горит свет”; “Петров всучил чиновнику взятку деньгами, а Сидоров - бутылкой”.
Дизъюнктивные высказывания.
Дизъюнктивные высказывания - это высказывания, в которых утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций, описанных в А и В. Дизъюнкция обозначается символом V и выражается в естественном языке союзом “или”.
Табличное определение знака дизъюнкции имеет следующий вид:
Пример дизъюнктивного высказывания: “Роман Сергеевич Иванов является преподавателем, или Роман Сергеевич Иванов является аспирантом”.
Строго-дизъюнктивные высказывания .
Строго-дизъюнктивными называются высказывания, в которых утверждается наличие ровно одной из двух ситуаций, описанных в А и В. Такие высказывания чаще всего осуществляются посредством предложений с союзом “или..., или...” (“либо..., либо...”). Строгая дизъюнкция обозначается символом V* (читается “либо..., либо...”).
Табличное определение знака строгой дизъюнкции имеет следующий вид:
Пример строго-дизъюнктивного высказывания: “Либо на улице солнечно, либо идет дождь”.
