Методика решения текстовых задач арифметическим способом. Простые текстовые арифметические задачи (их классификация, примеры и способы решения)

Cтраница 1

Арифметический метод - сумма амортизационных отчислений ежегодно уменьшается по арифметическому ряду.  

Арифметический метод контроля включает подсчет контрольных сумм по строкам и столбцам документов, имеющих табличную форму, контроль по формулам, признакам делимости или четности, балансовые методы, повторный ввод и т.п. Для предотвращения случайного или намеренного искажения информации служат и организационные, и специальные мероприятия.  

Арифметический метод решения задачи является чисто синтетическим: от одного известного факта он переходит к другому до тех пор, пока желанная цель не будет достигнута. Алгебраический же метод решения по своей природе аналитический: он начинает с конца и, обозначив цель поиска условным символом, устремляется к началу и влечет за собой свою жертву-инкогнито до тех пор, пока не выходит на ослепительный свет известных фактов, срывает с нее маску и говорит: Я тебя знаю.  

Примером использования арифметических методов для решения сравнительно сложных математических задач может служить численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитическим решением дифференциального уравнения является уравнение, выражающее зависимую переменную в виде функции от независимой переменной; численное же решение представляется в виде таблицы, включающей значения независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной в требуемом диапазоне.  

Подобные задачи арифметическим методом уже решались учащимися на уроках математики, что и следует использовать, особенно в начале изучения темы. Заканчивается раздел решением задач с использованием понятия о средней скорости движения.  

Простые проблемы можно решать с помощью арифметических методов, по мере усложнения проблем для их решения должны использоваться более сложные методы: регрессия, матричная алгебра, дифференциальные уравнения. За некоторой границей сложности математическую обработку данных нецелесообразно или вообще невозможно вести вручную - ее необходимо производить на ЭВМ. Роль человека при этом коренным образом меняется. Не участвуя в прямых вычислениях, человек занят в этом случае вопросами определения структуры решения проблемы вводом исходных данных и рассмотрением полученных результатов.  

Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода - отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений.  

Арифметический метод хотя и обладает несколько меньшей точностью по сравнению с графическим, но зато более простой и удобный в практической работе.  

Здесь решаются задачи на составление кинематическ. Для решения этих задач применяется преимущественно формальный арифметический метод подсчета числа переменных параметров и условий связи, к-рыми определяется движение механизма.  

Результаты октав-ного анализа шума наносят на график нормировочных кривых шума, и наибольший номер кривой, превышенный уровнем шум-а в одной или нескольких октавных полосах, считается нормировочным индексом шума. Существует также арифметический метод нахождения этого индекса. В широкой практике предпочитают пользоваться оценкой шу-ч ма в дБА как более адекватной.  

В том же гармоническом осцилляторе, например, если сила пружины не будет пропорциональна отклонению от положения равновесия, а окажется несколько сложнее, мы уже не сможем ничего поделать и вынуждены обращаться к численному расчету. Интересно, что, пока люди поняли ограниченные возможности математического анализа и необходимость использования числовых методов, потребовалось немало времени. Сейчас с помощью этих методов решается огромное количество задач, которые не могли быть решены аналитически. Однако имеются ситуации, когда оба метода оказываются бессильны: простые задачи решаются аналитически, а задачи посложнее - числовым арифметическим методом, но очень сложные задачи невозможно решить ни так, ни этак. Солнца, собрано громадное количество звезд. Эти проблемы нельзя решить прямыми методами, и нужно изыскать какие-то другие пути.  

Его метод состоит в расположении сообщений длины N в порядке убывающих вероятностей. Этот ряд делится на две группы, по возможности с равными вероятностями. Если сообщение относится к первой группе, его первая двоичная цифра будет 0, в противном случае - единица. Эти группы аналогичным образом делятся на подгруппы примерно равной вероятности, и частная подгруппа определяет второй двоичный знак. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получатся подгруппы, содержащие только по одному сообщению. Легко видеть, что, за исключением незначительных отличий (в общем случае в последней цифре), это приводит к тем же результатам, что и при описанном выше арифметическом методе.  

Страницы:      1

В настоящее время одним из инновационных подходов в управлении школой, позволяющий эффективно использовать имеющиеся в системе образования ресурсы и успешно противостоять негативным внешним и внутренним факторам, является кластерный подход. Подтверждением этого положения является и опыт других исследователей кластерного подхода .

1. Семыкина Е.Н., Блохин В.В. Концепция инновационной ядерной сетевой экспериментальной площадки «Жизнедеятельность образовательного учреждения для гражданско-нравст-венного и эстетического становления личности школьников в рамках единого образовательного комплекса (кластера)». М., 2008.

2. Шамова Т.И. Возможности применения кластерной организационной технологии в образовании // Очерки системной педагогики / под ред. Р. А. Лачашвили. М., 2008. С. 231-238.

3. Шамова Т.И. Кластерный подход к развитию образовательных систем // Взаимодействия образовательных учреждений и институтов социума в обеспечении эффективности, доступности и качества образования региона / отв. ред. Т.М. Давыденко, Т.И. Шамова. Белгород, 2006. Ч. I. С. 24-29.

4. Семыкина Е.Н. Интеграционные гуманитарные технологии для гражданско-нравственного становления личности школьника // Методика духовно-нравственного воспитания детей в учреждениях общего и дополнительного образования / под ред. И.П. Воропаевой, Г.Ф. Гаврилычевой. М., 2007. С. 173-192.

5. Игнатова И., Екимова Н. Кластерный подход в управлении учреждением образования // Народное образование. 2009. № 8. С. 62-66.

6. Взаимодействие школы и социальных партнеров: кластерный подход. Белгород, 2008.

Поступила в редакцию 11.11.2009 г.

Semykina E.N. Cluster approach as the administrative resource in education and up-bringing.

Between 2005 and 2009 we have been perfecting and still continue to work on improvements of the conceptual and practical aspects of an educational model “Vital activity of the educational Institution for civil-moral and aesthetic up-bringing of the schoolchild’s personality within the limits of a uniform educational complex (cluster)”. Contribution attributable to this model is the implementation of the cluster approach to the educational environment. The cluster approach ensures concentration of management efforts of specific educational establishments on solving personality formation issues.

Key words: cluster approach; cluster; civil-moral formation of the schoolchild’s personality.

УДК 373.1.02:372.8

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: ПСИХОЛОГО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ ДИСКУРС

© М.А. Мацыгин

Статья посвящена преимуществам арифметического способа решения задач в 5-6 классах средней общеобразовательной школы. Такой способ решения задач развивает интеллектуальные способности школьников в большей степени, чем алгебраический способ решения задач.

Ключевые слова: арифметический способ решения задач; алгебраический способ решения задач; текстовые задачи; интеллектуальные способности; логическое мышление.

Одной из основных тенденций развития отечественной образовательной системы является развивающий характер образования, под которым понимается переход от процесса усвоения знаний, умений и навыков к процессу развития способностей, самостоятельности ребенка. Сегодня приоритет развития «способностей к самоопределению личности, создание условий для ее самореализации» стал нормой Закона об образова-

нии, т. е. нормой деятельности каждого учителя . При этом самостоятельная деятельность ребенка, рассматриваемая как основной фактор его развития, обусловливается развитостью его мышления, уровнем развития его познавательных способностей. Самым значительным потенциалом для развития мышления, интеллектуальных способностей среди школьных предметов, несомненно, обладает математика. В этом состоит ее

универсальный характер и этим же обусловлено ее проникновение в другие школьные предметы. Важнейшим же средством развития математической культуры, математического мышления являются текстовые задачи.

Значение текстовых задач не исчерпывается возможностью применять полученные знания в своей практической деятельности. В процессе решения задач у детей развиваются способности не только математические, но и общие, интеллектуальные, которые, в свою очередь, необходимы для развития личности ребенка в целом, способствуя успеваемости детей почти по всем школьным предметам. Поэтому очень важно, чтобы учащиеся имели глубокие представления о текстовой задаче и ее решении различными способами.

Наиболее распространенный вид текстовых задач определяется как описание на естественном языке некоторой ситуации (ситуаций) с требованием выявить количественную характеристику определенного компонента этой ситуации. Основными способами решения таких задач являются арифметический и алгебраический.

Арифметический способ решения заключается в нахождении ответа задачи путем арифметических действий над числами.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения и последующего его решения.

Арифметический способ решения задач долгое время являлся доминирующим в отечественной средней школе, вплоть до конца 60-х гг. XX в. Этому способствовала богатая историческая традиция использования в обучении задач практического характера. С давних времен обучение решению арифметических задач сводилась к усвоению правил. Например, в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703), являющейся первым отечественным печатным учебником по математике, давались арифметические задачи на строго определенные правила, которые имели соответствующие названия «тройное», «пятерное», «семиричное» и т. д. Это объясняется строго практической необходимостью выполнения торговых расчетов. Деятельность учащихся сводилась к усвоению стандартно -го набора правил решения определенных типов задач, причем понимание учащимися механизма решения совершенно не являлось

необходимым. И.В. Арнольд так описывает ситуацию в образовании в своей статье, вышедшей в 1946 г.: «Учеников - в том или ином порядке - знакомят с соответствующими «типами» задач, причем обучение решению задач сплошь и рядом сводится к рецептуре и «натаскиванию», к пассивному запоминанию учениками небольшого числа стандартных приемов решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае» .

Несмотря на указанные недостатки в обучении, к середине XX столетия в отечественном образовании методика использования арифметических задач была хорошо проработана, задачи были систематизированы. Однако при проведении реформы математического образования конца 1960-х гг., предпочтение все-таки получил алгебраический метод решения задач. Этому способствовало также то, что арифметические задачи многими считались недостаточно связанными с жизненной практикой того времени. Кроме этого, преобладало мнение, что обучение решению задач арифметическим методом нецелесообразно и мешает овладению алгебраическим методом. В частности, Г.П. Щед-ровицкий в начале 1960-х гг. пишет: «... арифметические приемы есть анахронизм, искусственные, крайне замысловатые способы, выработанные еще до того, как появилась алгебра с ее простым аппаратом. Но зачем тогда мы детям забиваем головы этими ненужными приемами и отнимаем время и силы в течение стольких лет?» .

В результате реформы математического образования, как отмечает А. В. Шевкин, арифметический способ решения задач был в значительной степени вытеснен алгебраическим: «. роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения... «метод уравнений» на долгое время стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач» .

В настоящее время арифметический способ используется в школе лишь для решения несложных задач в начальном курсе математики, вплоть до 5-6-х классов, в которых происходит переход к алгебраическому способу: единственному, изучаемому в курсе

алгебры. Однако такая практика не является в полной мере научно обоснованной и экспериментально подтвержденной в психологопедагогических исследованиях. К тому же в настоящее время среди исследователей не существует единого мнения по вопросам соотношения в школьном обучении арифметического и алгебраического методов и их роли в развитии мышления учащихся.

Исследователи Б.В. Гнеденко, М.А. Лаврентьев, А.И. Маркушевич и другие считали, что тратится слишком много времени на решение арифметических задач, которые, по их мнению, должны решаться алгебраическими методами. Сегодня, как и в 1960-е гг., методистами отстаивается тезис о том, что арифметические методы требуют от учащихся и учителей слишком много напрасных усилий.

Так, в последние годы появились психо-лого-педагогические исследования, в которых утверждается возможность введения буквенной символики «в дочисловом периоде» (В.В. Давыдов), а также предлагается практика обучения алгебраическому способу решения задач без предварительного изучения арифметического способа (Ф.Г. Боданский).

Другая часть исследователей (И.К. Андронов, И.П. Богуславский, А.Н. Левин,

М.В. Потоцкий, А.С. Пчелко и др.) разделяли иную точку зрения. Арифметический способ решения задач ими признавался первостепенным в развитии мышления и, соответственно, в успешном овладении курсом математики. Это согласуется с современным утверждением о том, что арифметические способы решения не только простых, но и достаточно сложных задач должны предшествовать использованию алгебраического метода. Исследователи Н.А. Менчинская, М.И. Моро, А.В. Скрипченко считают, что именно арифметический способ приучает учащихся к анализу, синтезу, упражняет в нахождении математических зависимостей. Ими подчеркивается значение арифметического способа для лучшего понимания задачи и процесса нахождения ее решения, а также роль арифметических задач в развитии общеинтеллектуальных способностей.

В связи с этим Н.Ф. Талызина отмечает, что «формирование уже самых начальных знаний должно быть организовано так, чтобы это было одновременно и формированием мышления, определенных умственных спо-

собностей учащихся» . При решении

арифметических задач, по мнению исследователя, формируются такие познавательные умения, которые выходят за рамки изучаемого предмета - математики, но тем не менее обеспечивают успех в его овладении.

Проблема разработки оптимальных методик использования алгебраического и арифметического способов потребовала рассмотрения особенностей умственной деятельности учащихся в процессе решения текстовых задач, что нашло свое отражение в исследованиях Н.А. Менчинской, Л.Я. Юр-цевой и др.

Умственная деятельность в процессе арифметического и алгебраического решения задач, по мнению этих исследователей, связана с особенностями этих способов, а именно с использованием различного математического языка. В зависимости от выбора соответствующего способа изменяются возможности переработки и преобразования заключенной в условии исходной информации.

Так, алгебраический способ позволяет с помощью буквенных символов обозначить выбранное неизвестное, записать предписываемые задачей операции в виде уравнения и построить процесс преобразования исходных данных задачи в виде алгоритмического преобразования алгебраических выражений. В процессе решения не рассматривается смысловое значение промежуточных алгебраических выражений. Поэтому, используя алгебраический способ, возможно решить задачу, ограничиваясь осмысливанием только исходных данных и конечного результата.

В процессе решения учащемуся не нужно удерживать в сознании обозначенное буквой неизвестное. Нет необходимости также в нахождении смысла получаемого на каждом шаге преобразований уравнения. Решение алгебраическим способом может быть найдено на разных, в т. ч. и ранних, этапах анализа условия задачи, при этом синтез данных в процессе алгебраического решения основывается на исходных зависимостях между величинами и не опирается на глубокий и всесторонний анализ связей.

Арифметический способ требует осмысления всех арифметических действий на каждом шаге решения, соотнесение каждого шага решения с искомым и с описанной в задаче проблемной ситуацией в целом. При

этом процесс решения требует высокого уровня анализа, в процессе которого исходные данные включаются в новые связи, благодаря чему выявляются новые по сравнению с исходной формулировкой сведения о значении величин и отношениях между ними. Синтез в процессе арифметического решения задач имеет эвристический, поисковый характер, приводит к постоянному исследованию зависимостей между исходными данными и получаемыми на промежуточных этапах решениями. В арифметическом способе синтез данных опирается на выявление новых связей, т. е. постоянный процесс переформулирования условия задачи.

Указанные психологические особенности решения алгебраическим и арифметическим способом были подтверждены в исследовании Л.Я. Юрцевой . Было установлено, что в процессе алгебраического решения задач реальная ситуация может представляться без достаточно отчетливого вычленения математических соотношений. Поэтому, даже после успешного алгебраического решения эти соотношения рассматривались вне связи с проведенными операциями или искажались.

При решении задачи арифметическим методом осмысливание всех преобразований, соотнесение каждого шага с проблемной ситуацией в целом приводит к более полному ее представлению, пониманию. В процессе решения выделяются важнейшие стороны этой ситуации - математические соотношения. По этой причине даже безуспешные попытки арифметического решения задачи повышают уровень анализа и синтеза. Более высокий уровень анализа подтверждает дополнительный анализ задачи, который часто проводят учащиеся после успешного алгебраического решения в связи с переходом к арифметическому способу решению этой же задачи.

Таким образом, сложность арифметического способа решения связана с высоким уровнем анализа и синтеза, который необходим для успешного решения задачи этим способом. Поэтому решение сложных задач арифметическим способом более доступно учащимся старших классов, а в рамках каждого класса - учащимся с повышенным уровнем математической подготовки.

Алгебраический способ решения задач доступен различным категориям учащихся, в т. ч. и с невысоким уровнем математической подготовки. Однако те акты мышления, которые при этом совершают учащиеся, могут только внешне совпадать с деятельностью математически развитого человека, соответствуя в то же время той ступени развития, на которой находится ученик.

Доступность алгебраического способа решения задач объясняется возможностью успешного их решения этим способом при различных уровнях анализа и синтеза (в т. ч. и при низком). Однако эта доступность имеет свою отрицательную сторону, поскольку не стимулирует перехода к более высоким уровням интеллектуальной деятельности, позволяя слабым в математике учащимся создавать видимость достаточно высокого уровня математического мышления.

Именно поэтому при использовании алгебраического способа решения задач в школе необходимо дополнять деятельность учащихся теми ее видами, которые упражняют в более сложных формах анализа и синтеза, которые используются при арифметическом решении задач.

Арифметический и алгебраический способы решения задач играют различную роль в умственной деятельности учащихся. Использование алгебраического способа не компенсирует тех качеств мышления, которые формируются арифметическим способом решения задач. Необходимо отметить также нестандартность арифметической логики решения задач, в ходе решения которых у учащихся развиваются способности к эвристическому, креативному мышлению.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что сочетание алгебраического и арифметического способов решения задач при обучении математике в школе предположительно будет способствовать развитию интеллектуальных способностей учащихся. При этом не следует ограничивать решение задач арифметическим способом младшими классами, в которых используются сравнительно простые текстовые задачи. Более сложные задачи, которые решаются в старших классах традиционно алгебраическим методом, также в большинстве случаев могут быть успешно решены и арифметическим методом. Решение одной и той же зада-

чи арифметическим и алгебраическим методами позволяет найти наиболее рациональное из них в каждом конкретном случае.

Использование арифметических способов решения задач наряду с алгебраическим способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Нельзя забывать и о том, что в процессе решения задач различными способами формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ, проверкой полученного результата. К концу периода обучения в школе выпускник должен иметь в своем арсенале различные способы решения задач, а также практический опыт нахождения решения задачи нестандартными способами.

Можно предположить, что наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. При этом можно попытаться повысить умственные способности учащихся путем изменения практики текстовых задач в этих классах, внедрив в школьную программу по математике небольшой комплекс арифметических задач. Дореволюционные учебники дают нам благодатный материал для разработки системы арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников. Задачи, решаемые методом фальшивого правила, тройного правила и другие будут, кроме того, и интересны школьникам. В этом плане представляют интерес идеи таких дореволюционных методистов, как, например, Д. Д. Галанина. Как утверждают О.А. Саввина и О.А. Коломникова: «Психологические основы обучения математике, развивающее обучение, деятельностный подход и лабораторные работы в начальной школе - все эти внешне злободневные сюжеты уже сто лет назад являлись предметом глубочайших изысканий педаго-

га-исследователя начала ХХ в. Дмитрия Дмитриевича Галанина» . Используя адаптированные к современным условиям арифметические задачи, использовавшиеся на протяжении веков в отечественной средней школе, и опираясь на методические разработки, внедренные еще в начале - середине прошлого века, мы тем самым попытаемся добиться не только обогащения мыслительной деятельности учащихся, но и развития интеллектуальных способностей в процессе освоения культурно-исторического наследия человечества в целом и русской научной культуры в частности, связанных с поиском решения задач.

В качестве примеров приведем две арифметические задачи, подходящие для изучения в 5-6 классах.

Методику решения первой задачи, использовавшейся при обучении математики еще в древнем Китае, приводит А.В. Шевкин:

«В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов» .

А.В. Шевкин отмечает, что, естественно. эта задача успешно может быть решена алгебраическим путем, например, составив уравнение:

4х + 2 ■ (35 - х) = 94, где х - число кроликов, и решив его.

Однако если при решении этой задачи, мы зададимся целью не просто получить правильный ответ, но и развивать мышление, воображение у детей, то в этом случае целесообразно применить следующую методику арифметического решения этой задачи.

Учитель предлагает ученикам вообразить, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, положили морковку. При этом все кролики в клетке встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Отсюда вопрос: сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

Дети легко замечают, что остальные ноги не посчитаны (это передние лапы кроликов). Вычисление их количества не представляет сложности: 94 - 70 = 24 ноги.

Представляет интерес тот факт, что аналогичная задача приводится в учебнике математики для 5 классов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича под номером 615 . Авторы, придерживающиеся системы развивающего обучения Л.В. Занкова, предлагают учащимся ознакомиться как с арифметическим способом ее решения (рассмотренным выше), так и с алгебраическим (решение уравнения с двумя неизвестными методом подбора).

Другая задача также представляет собой адаптированный вариант задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (опубликованный в сборнике старинных задач С.Н. Олехника ): «Прохожий, идущий из одной деревни в другую, спросил у другого прохожего, долго ли ему осталось идти? Он получил ответ, что уже прошел треть расстояния между деревнями, а через 2 версты будет ровно половина пути. Сколько верст прохожему еще осталось пройти?»

Задача решается очень просто арифметическим путем, если учесть, что 2 версты -это разность 1/2 и 1/3 расстояния между деревнями. Отсюда получаем, что 2 версты это 1/6 всего расстояния, следовательно расстояние между деревнями 12 верст. Путник уже прошел треть, то есть 4 версты и осталось ему еще идти 8 верст. Для большей наглядности можно нарисовать схему.

В завершении сделаем несколько выводов из проделанного исследования об использовании арифметического и алгебраического методов решения текстовых задач в школьном курсе математики:

1) алгебраический способ решения задач представляет собой прежде всего удобный и эффективный инструмент решения большинства (но не всех) текстовых задач, способствующий развитию абстрактного мышления;

2) арифметический же метод ценен тем, что способствует пониманию условия задачи, процесса ее решения; развивает не только математическое мышление, но и общие интеллектуальные способности; развивает самостоятельность и креативность мышления;

3) в школьном курсе математики необходимо разумно сочетать оба метода решения задач, не ограничиваясь использованием арифметического способа младшими класса-

ми, а использовать его вместе с алгебраическим в средних и старших классах;

4) алгебраическому способу можно начинать учить и в начальной школе, но не следует позиционировать его как наилучший способ решения;

5) поскольку для многих задач существует несколько арифметических (и даже алгебраических) способов решений, то, по возможности, следует находить решение одной текстовой задачи не одним, а несколькими частными способами. Целесообразно выбирать из нескольких способов решения наиболее красивое - это позволит развивать у учащихся эстетические чувства применительно к математическим явлениям и повысит интерес к процессу решения текстовых задач;

6) исходя из требований существующей школьной программы по математике, можно предположить, что сейчас наибольшими перспективами для исследования роли арифметического и алгебраического методов решения задач в формировании интеллектуальных способностей учащихся являются 5-6 классы, в которых по существующей программе и происходит переход от арифметического к алгебраическому способу. Это можно сделать путем введения небольшого комплекса арифметических задач, которые будут применять учителя 5-6 классов.

1. Об образовании: федеральный закон РФ. М., 1999. С. 9.

2. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач / Вопросы методики математики. Известия АПН РСФСР. М., 1946. Вып. 6. С. 7-28.

3. Щедровицкий Г. П. Технология мышления // Некоммерческий научный Фонд «Институт развития им. Г.П. Щедровицкого». 2008. иКЬ: http://www.fondgp.rU/gp/biblio/rus/7 (дата обращения: 24.08.2009).

4. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики // Роль текстовых задач в школьном курсе математики. М., 2006. С. 12-14.

5. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология. М., 1998. С. 50.

6. Юрцева Л.Я. Особенности умственной деятельности учащихся в процессе решения задач алгебраическим и арифметическим способами: автореф. дис. ... канд. пед. наук. М., 1971. С. 1-6.

7. Саввина О.А., Коломникова О.А. Методические идеи Д. Д. Галанина (к 150-летию со дня

рождения) // Начальная школа. 2007. № 10. С. 106-112.

8. Зубарева Н.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл. М., 2005. С. 170-171.

9. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи. М., 1988. С. 15-16.

Поступила в редакцию 6.11.2009 г.

Matsygin M.A. Arithmetic and algebraic ways of the exercise solution: psychological-didactic discourse.

The article is devoted to advantages of an arithmetic way of the exercise solution in 5-6 grades of an average comprehensive school. Such way of the exercise solution develops mental abilities of schoolboys more than an algebraic way of the exercise solution.

Key words: arithmetic way of the exercise solution; algebraic way of the exercise solution; textual exercises; mental abilities; logic thinking.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА В ИНТЕГРИРОВАННОМ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

© Л.З. Цветанова-Чурукова

Статья посвящена определению видов и функций систематизации учебного материала в интегрированном процессе обучения младших школьников. На основе опытно-экспериментальной работы намечены перспективы совершенствования знаний учащихся начальных классов.

Ключевые слова: систематизация; интеграция; дифференциация; обучение; учебный материал; экспертные оценки.

Процесс формирования системы знаний и алгоритмических моделей у младших школьников, который в педагогике принято называть систематизацией, до конца не изучен . Под систематизацией мы понимаем рациональную обработку учебного материала, связанную с объединением изучаемых объектов в систему. Благодаря систематизации вновь усвоенные знания формируются в понятийный аппарат личности, интегрируются в хорошо структурированную гносеологическую целостность. Происходит иерар-хизация учебного материала, т. е. формируется ядро знаний, которое включает главные, ключевые фрагменты учебного содержания, на фоне того, что является второстепенным и несущественным.

Необходимая предпосылка для полноценного усвоения знаний учениками - это оперирование ими, различное их вариативное использование посредством многообразных интеллектуальных и практических действий. Следовательно, за системой знаний стоит система логических действий, посредством которых можно реконструировать содержание учебного материала и достичь его более совершенной организации. В этом смысле мы не в состоянии оторвать содержа-

тельную сторону от операционной стороны процесса овладения знаниями.

Систематизация выполняет функцию обобщения, осуществляет высший синтез знаний и является переходом к более глубокому пониманию материала как некой целостности, состоящей из структурных частей. При систематизации опыта, накопленного личностью, осуществляется его индуктивное и дедуктивное редуцирование. Так можно реализовать сложные познавательные взаи-мопереходы - системно-дифференцирующие и системно-интегрирующие.

При системно-дифференцирующем подходе основная операция - декомпозиция. Посредством этой операции систему как целое можно разделить на подсистемы, на части, на виды. При системно-интегрирующем подходе движение осуществляется в противоположном направлении - от отдельных элементов к композиции системы как некоего целого. Ведущей здесь является операция композиции .

В процессе систематизации знаний осуществляется своеобразное формирование системы учебных моделей, представляющих обобщенную копию действительности. Уровень абстрактно-логической деятельности по сравнению с первыми двумя этапами процес-

Решение задач арифметическим способом

Урок по математике в 5 классе.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их» .
Д. Пойа

Цели и задачи урока:

формирование умения решать задачи арифметическим способом;

развитие творческих способностей, познавательного интереса;

развитие логического мышления;

воспитание любви к предмету;

воспитание культуры математического мышления.

Оборудование: сигнальные карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ход урока

I. Организационный момент (1 мин.)

Урок посвящен решению задач арифметическим способом. Сегодня мы будем решать задачи разных видов, но все они будут решены без помощи уравнений.

II. Историческая справка (1 мин.)

Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениям. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречающихся на практике.

III. Разминка (решение задач устно - 6 мин.)
а) Задачи на карточках.
Каждому ученику дается карточка с задачей, которую он решает устно и дает ответ. Все задачи на действие 3 - 1 = 2.

(Ученики решают задачи верно, а кто нет. На всех устно. Поднимают карточки и учитель видит, кто решил задачу карточках должно быть число 2.)

б) Задачи в стихах и логические задачи. (Учитель читает вслух задачу, ученики поднимают карточку с правильным ответом.

Подарил утятам ежик
Кто ответит из ребят,
Восемь кожаных сапожек
Сколько было всех утят?
(Четыре. )

Двое шустрых поросят
Так замерзли, аж дрожат.
Посчитайте и скажите:
Сколько валенок купить им?
(Восемь. )

Я вошел в сосновый бор
И увидел мухомор,
Два опенка,
Два сморчка.
Три масленка,
Два строчка...
У кого ответ готов:
Сколько я нашел грибов?
(Десять. )

4. Во дворе гуляли куры и собаки. Мальчик посчитал их лапы. Получилось десять. Сколько могло быть кур и сколько собак. (Две собаки и одна курица, одна собака и три курицы .)

5. По рецепту врача купили в аптеке 10 таблеток. Врач прописал принимать лекарство по 3 таблетки в день. На сколько дней хватит этого лекарства? (Полных дней.)

6. Брату 7 лет, а сестре 5. сколько лет будет сестре, когда брату будет 10 лет?

7. Даны числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. что больше: их произведение или сумма?

8. При постройке забора плотники поставили по прямой 5 столбов. Расстояние между столбами по 2 м. Какова длина забора?

IV. Решение задач

(Задачи детям даны на карточках - 15 мин. Дети решают задачи у доски)
Задачи а) и б) нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

а) Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?

б) Первая бригада собрала за смену 52 прибора, втор?"; - на 9 приборов меньше, чем первая, а третья - на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько приборов собрали три бригады за смену?

С помощью задачи в) учащимся можно показать решение задачи «обратным ходом».

в) В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

В задаче г) учащиеся могут предложить несколько способов решения.

г) У трех сестер спросили: «Сколько лет каждой из сестер?». Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Задача д) предназначена для повторения связи отношении «больше в...» и «меньше в...».

д) У Васи было 46 марок. За год его коллекция увеличилась на 230 марок. Во сколько раз увеличилась его коллекция?

V. Физкультминутка (2 мин.)

На одной ноге постой-ка,
Будто ты солдатик стойкий.
Ногу левую - подними.
Да смотри - не упади.
А теперь постой на левой,
Если ты солдатик смелый.

VI. Старинные, исторические задачи. Задачи со сказочным содержанием (10 мин.)

Задача е) на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

е) (из «Арифметики» Л.Н. Толстого)

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 больше, чем у другого. Сколько овец у каждого?

Задача на движение.

ж) (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил 26 верст в час. Сколько верст от Москвы до Твери?

(С помощью уравнения легче добраться до ответа. Но учащимся предлагается поискать арифметическое решение задачи.)

1) 26 * 2 = 52 (версты) - на столько верст второй поезд отстал от первого;

2) 39 - 26 = 13 (верст) - на столько верст второй поезд отставал за 1 час от первого;

3) 52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;

4) 39 * 4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Можно заглянуть в справочники найти расстояние в километрах.

1 верста = 1 км 69 м.

Задача на части.

з) Задача Кикиморы. Водяной решил жениться на кикиморе Ха-Ха. На фату кикиморе он посадил несколько пиявок, а себе на накидку в два раза больше. Во время праздника 15 пиявок отвалились, и осталось всего 435. Сколько пиявок было на фате у кикиморы?

(Задача дана для решения с помощью уравнения, но мы решаем арифметическим способом)

VII. Живые цифры (разгрузочная пауза - 4 мин.)

Учитель вызывает к доске 10 учеников, дает им цифры от 1 до 10. Ученики получают разные задания;

а) учитель называет числа; названные делают шаг вперед (н-р: 5, 8, 1, 7);

б) выходят только соседи названного числа (н-р: число 6, выходят 5 и 7);

в) учитель придумывает примеры, и выходит только тот, у кого ответ на этот пример или задачу (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; и т.д.);

г) учитель делает несколько хлопков и еще показывает цифру (одну или две); должен выйти ученик, число которого есть сумма всех услышанных и увиденных чисел (например: 3 хлопка, цифра 5 и цифра 1.);

какое число на 4 больше четырех?

я задумала число, отняла от него 3, у меня получилось 7. Какое число я задумала?

если к задуманному числу прибавить 2, то получится 8. Чему равно задуманное число?

Надо стараться подбирать такие задания, чтобы в ответах не повторялись одни и те же числа, чтобы каждый мог активно участвовать в игре.

VIII. Подведение итогов урока (2 мин.)

- Чем мы сегодня занимались на уроке?

- Что значит решить задачу арифметическим способом?

- Надо помнить, что найденное решение задачи должно удовлетворять условиям задачи.

IХ. Задание на дом. Выставление оценок (2 мин.)

№ 387 (решить задачи арифметическим способом), для слабых учащихся. Для средних и сильных учащихся задание на дом дается на карточках.

1. В булочной было 645 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталась поровну. Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем сестра. Сколько белых грибов нашел брат?

Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слов. Оказалось, что груш и слив вместе взяли 2 кг 400 г. Определите массу взятых яблок; массу всех фруктов.

Литература

Виленкин Н., Жохов В., Чесноков А. Математика. 5 класс. - М., «Мнемозина», 2002.

Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики. - М.: Педуниверситет «Первое сентября», 2006.

Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.

Несмотря на то, что вычислительная деятельность вызывает интерес у детей, а самой проблеме отводится значительное место в программе обучения в детском саду, многие старшие дошкольники и даже младшие школьники (учащиеся 1--3-х классов) испытывают значительные трудности именно в решении арифметических задач. Около 20 % детей седьмого года жизни испытывают трудности в выборе арифметического действия, аргументации его. Эти дети, решая арифметические задачи, в выборе арифметического действия ориентируются в основном на внешние несущественные «псевдоматематические» связи и отношения между числовыми данными в условии задачи, а также между условием и вопросом задачи. Это проявляется прежде всего в непонимании ими обобщенного содержания понятий: «условие», «вопрос», «действие», а также знаков (+,-,=), в неумении правильно выбрать необходимый знак, арифметическое действие в том случае, когда заданное в условии конкретное отображение не соответствует арифметическому действию (прилетели, добавили, дороже -- сложение; улетели, взяли, дешевле -- вычитание). Более того, иногда отдельные воспитатели ориентируют детей именно на эти псевдоматематические связи. В таких ситуациях вычислительная деятельность формируется недостаточно осознанно (М. А. Бантова, Н. И. Моро, А. М. Пышкало, Е. А. Тарханова и др.).

Очевидно, основная причина невысокого уровня знаний детей заключается в самой сути того, что отличает вычислительную деятельность от счетной. Во время счета ребенок имеет дело с конкретными множествами (предметы, звуки, движения). Он видит, слышит, чувствует эти множества, имеет возможность практически действовать с ним (накладывать, прикладывать, непосредственно сравнивать). Что же касается вычислительной деятельности, то она связана с числами. А числа -- это абстрактные понятия. Вычислительная деятельность опирается на разные арифметические действия, которые также являются обобщенными, абстрагированными операциями с множествами.

Понимание самой простой арифметической задачи требует анализа ее содержания, выделения ее числовых данных, понимания отношений между ними и, конечно, самих действий, которые ребенок должен выполнить.

Дошкольникам особенно трудно понимать вопрос задачи, который отражает математическую сущность действий, хотя именно вопрос задачи направляет внимание ребенка на отношения между числовыми данными.

Обучение дошкольников решению арифметических задач подводит их к пониманию содержания арифметических действий (добавили -- сложили, уменьшили -- вычли). Это также возможно на определенном уровне развития аналитико-синтетической деятельности ребенка. Для того чтобы дети усвоили элементарные приемы вычислительной деятельности, необходима предварительная работа, направленная на овладение знаниями об отношениях между смежными числами натурального ряда, о составе числа, счете группами и т. д.

Особое значение в формировании вычислительной деятельности приобретают четкая системность и поэтапность в работе.

Решить сложением (к трем прибавить один)». Дети делают вывод: «К кормушке прилетело четыре птички».

«В магазине было пять телевизоров, один из них продали. Сколько телевизоров осталось в магазине?» Решая эту задачу, воспитатель учит аргументировать свои действия так: было пять телевизоров, один продали, следовательно, их осталось на один меньше. Чтобы узнать, сколько телевизоров осталось, нужно от пяти отнять один и получится четыре.

Воспитатель формирует у детей представления о действиях сложения и вычитания, одновременно знакомит их со знаками «+» (прибавить, сложить), «-» (отнять, вычесть) и «=» (равно, получится).

Таким образом, ребенок постепенно от действий с конкретными множествами переходит к действиям с числами, т. е. решает арифметическую задачу.

Уже на втором-третьем занятии наряду с задачами-драматизапиями и задачами-иллюстрациями можно предлагать детям решать устные (текстовые) задачи. Этот этап работы тесно связан с использованием карточек с цифрами и знаками. Особенно полезны упражнения детей в самостоятельном составлении ими аналогичных задач. При этом воспитатель должен помнить, что основное заключается в нахождении не столько ответа (названия числа), сколько пути к нему. Так, дети решают задачу: «На участке детского сада в первый день посадили четыре дерева, а на следующий -- еще одно дерево. Сколько деревьев посадили за два дня?» Воспитатель учит ребенка мыслить во время решения задачи. Он спрашивает детей: «О чем идет речь в задаче?» -- «О том, что на площадке детского сада посадили деревья». -- «Сколько деревьев посадили в первый день?» -- «Четыре». -- «Сколько деревьев посадили во второй день?» -- «Одно дерево». -- «А что спрашивается в задаче?» -- «Сколько всего деревьев посадили на участке за два дня?» -- «Как можно узнать, сколько деревьев посадили на участке?» -- «К четырем прибавить один».

Воспитатель подводит детей к такому обобщению: чтобы к числу прибавить один (единицу), не надо пересчитывать все предметы, надо просто назвать следующее число. Когда к четырем прибавляем один, мы просто называем следующее за числом «четыре» число «пять». А когда надо вычесть, отнять один, следует назвать предыдущее число, стоящее перед ним. Таким образом, опираясь на имеющиеся у детей знания, воспитатель вооружает их приемами присчитывания (прибавления) к числу единицы и вычитания единицы. Ниже предлагаются несколько задач первого типа.

• 1. На ветке сидело пять воробьев. К ним прилетел еще один воробей. Сколько птичек стало на ветке?
• 2. Таня и Вова помогали маме. Таня почистила три картофелины, а Вова -- одну морковку. Сколько овощей почистили дети?
• 3. На одной клумбе расцвело пять тюльпанов, на другой -- один пион. Сколько цветов расцвело на обеих клумбах вместе?

Если с первых шагов обучения дети осознают необходимость, значение анализа простых задач, то позднее это поможет им в решении сложных математических задач. Активность умственной деятельности ребенка во многом зависит от умения воспитателя ставить вопросы, побуждать его мыслить. Так, воспитатель спрашивает у детей: «О чем следует узнать в задаче? Как можно ответить на вопрос? Почему ты считаешь, что надо сложить? Как ты прибавишь к четырем единицу?»

Следующий этап в работе связан с ознакомлением детей с новыми задачами (задачами второго типа) на отношения «больше -- меньше на несколько единиц». В этих задачах арифметические действия подсказаны в самом условии задачи. Отношение «больше на единицу» требует от ребенка увеличения, присчитывания, сложения. Выражение «больше (меньше) на единицу» дети уже усвоили в группах пятого-шестого годов жизни, сравнивая смежные числа. При этом акцентировать внимание детей на отдельных словах «больше», «меньше» и тем более ориентировать их на выбор арифметического действия только в зависимости от этих слов не рекомендуется. Позднее, при решении «непрямых, косвенных» задач возникает потребность переучивать детей, а это намного сложнее, чем научить правильно делать выбор арифметического действия. Ниже даются примерные задачи второго типа.

• 1. В Машину чашку с чаем мама положила две ложки сахара, а в большую чашку папы -- на одну ложку больше. Сколько сахара положила мама в чашку папы?
• 2. На станции стояли четыре пассажирских поезда, а товарных -- на один меньше. Сколько товарных поездов было на станции?
• 3. Дети собрали на огороде три ящика помидоров, а огурцов -- на один меньше. Сколько ящиков огурцов собрали дети?

В начале обучения дошкольникам предлагаются только. прямые задачи, в них и условие, и вопрос словно подсказывают, какое действие следует выполнить: сложение или вычитание.

Шестилетним детям необходимо предлагать сравнивать задачи разных типов, хотя это для них является сложным делом, поскольку дети не видят текста, а обе задачи необходимо удерживать в памяти. Основным критерием сравнения является вопрос. В вопросе подчеркивается, что нужно определить только количество второго множества, которое больше (меньше) на один, или общее количество (остаток, разницу). Арифметические действия одинаковые, а цель разная. Именно это и способствует развитию мышления детей. Воспитатель постепенно подводит их к этому пониманию.

Еще более важным и ответственным этапом в обучении детей решению арифметических задач является ознакомление их с третьим типом задач -- на разностное сравнение чисел. Задачи этого типа решаются только вычитанием. При ознакомлении детей с этим типом задач их внимание обращается на основное -- вопрос в задаче. Вопрос начинается со слов «на сколько?», т. е. всегда необходимо определить разницу, разностные отношения между числовыми данными. Воспитатель учит детей понимать отношения зависимости между числовыми данными. Анализ задачи должен быть более детальным. Во время анализа дети должны идти от вопроса к условию задачи. Следует объяснить, что в выборе арифметического действия основным всегда является вопрос задачи, от его содержания и формулировки зависит решение. Поэтому следует начинать с анализа вопроса. Сначала детям предлагают задачу без вопроса. Например: «На прогулку дети взяли четыре больших мяча и один маленький. Что это такое? Можно ли это назвать арифметической задачей?» -- обращается воспитатель к детям. «Нет, это только условие задачи», -- отвечают дети. «А теперь поставьте сами вопрос к этой задаче».

Следует подвести детей к тому, что к этому условию задачи можно поставить два вопроса:

• 1. Сколько всего мячей взяли на прогулку?
• 2. На сколько больше взяли больших мячей, чем маленьких?

В соответствии с первым вопросом следует выполнить сложение, а в соответствии со вторым -- вычитание. Это убеждает детей в том, что анализ задачи следует начинать с вопроса. Ход рассуждений может быть таким: чтобы узнать, сколько всего мячей взяли дети на прогулку, надо знать, сколько взяли больших и маленьких отдельно и найти их общее количество. Во втором случае надо найти, на сколько больше одних мячей, чем других, т. е. определить разницу. Разницу всегда находят вычитанием: от большего числа вычитают меньшее.

Итак, задачи третьего типа помогают воспитателю закрепить знания о структуре задачи и способствуют развитию у детей умения различать и находить соответствующее арифметическое действие.

На этих занятиях не механически, а более или менее осознанно дети выполняют действия, аргументируют выбор арифметического действия. Задачи этого типа также следует сравнивать с задачами первого и второго типов.

Вычислительная деятельность в дошкольном возрасте предполагает овладение детьми арифметическими действиями сложения и вычитания, относящимися к операционной системе математики и подчиняющимися особым закономерностям операционных действий.

Чтобы дети лучше запоминали числовые данные, используются карточки с цифрами, а несколько позже и знаками.

Вначале числовые данные в задачах лучше ограничить первыми пятью числами натурального ряда. Дети в таких случаях, как правило, легко находят ответ. Основная цель этих занятий -- научить анализировать задачу, ее структуру, понимать математическую сущность. Дети учатся выделять структурные компоненты задачи, числовые данные, аргументировать арифметические действия и т. д.

Особое внимание в этот период следует уделить обучению детей составлению и решению задач по иллюстрациям и числовым примерам.

Так, воспитатель обращается к детям: «Сейчас мы с вами будем составлять и решать задачи по картине». При этом привлекается внимание детей к картине, на которой изображена речка, на берегу играют пять детей, а двое детей в лодках плывут к берегу. Предлагается рассмотреть картину и ответить на вопрос: «Что нарисовано на картине? О чем хотел рассказать художник? Где играют дети? Сколько детей на берегу? Что делают эти дети? (Показывает на детей в лодке.) Сколько их? Когда они выйдут на берег, их станет больше или меньше на берегу? Составьте задачу по этой картинке».

Воспитатель вызывает двух-трех детей и выслушивает составленные ими задачи. Потом выбирает наиболее удачную задачу, и все вместе решают ее. «О чем идет речь в задаче? Сколько детей играло на берегу? Сколько детей приплыло в лодке? Что надо сделать, чтобы решить задачу? Как к числу "пять" можно прибавить число "два"?» -- 5+1 + 1=7.

Воспитатель следит за тем, чтобы дети правильно формулировали арифметическое действие и объясняли прием присчитывания по единице.

Аналогично составляют и решают другие задачи. В конце занятия воспитатель спрашивает, чем занимались дети, уточняет их ответы: «Правильно, мы учились составлять и решать задачи, выбирать соответствующее действие, прибавлять и вычитать число 2 путем присчитывания и отсчитывания по единице».

Примерно так же дети составляют и решают задачи по числовому примеру. Составление и решение арифметических задач по числовому примеру требует еще более сложной умственной деятельности, поскольку содержание задачи не может быть произвольным, а опирается на числовой пример как на схему. В начале обращается внимание детей на само действие. В соответствии с действием (сложение или вычитание) составляется условие и вопрос в задаче. Можно усложнить цель -- не по каждому числовому примеру составляется новая задача, а иногда по одному и тому же примеру составляется несколько задач разных типов. Это, естественно, значительно сложнее, зато наиболее эффективно для умственного развития ребенка.

Так, по числовому примеру 4 + 2 дети составляют и решают две задачи: первую -- на нахождение суммы (сколько всего), вторую -- на отношение «больше на несколько единиц» (на 2). При этом ребенок должен осознавать отношения и зависимости между числовыми данными.

На основе примера 4 -- 2 дети должны составить три задачи: первого, второго и третьего типа. Сначала воспитатель помогает детям вопросами, предложениями: «Сейчас мы составим задачу, где будут слова "на 2 меньше", а потом по этому самому примеру составим задачу, где не будет таких слов, и нужно будет определить разницу в количестве (сколько осталось)». А потом воспитатель спрашивает: «А можно ли на основе этого примера составить новую, совсем другую задачу?» Если дети сами не могут сориентироваться, то воспитатель подсказывает им: «Составьте задачу, где вопрос начинался бы со слов "на сколько больше (меньше)"».

Такие занятия с детьми помогают им понять основное: арифметические задачи по своему содержанию могут быть разными, а математическое выражение (решение) -- одинаковым. В этот период обучения большое значение имеет «развернутый» способ вычисления, активизирующий умственную деятельность ребенка. Накануне воспитатель повторяет с детьми количественный состав числа из единиц и предлагает прибавлять число 2 не сразу, а присчитывать сначала 1, потом еще 1. Включение развернутого способа в вычислительную деятельность обеспечивает развитие логического мышления, способствуя при этом усвоению сущности этой деятельности.

После того как у детей сформируются представления и некоторые понятия об арифметической задаче, отношениях между числовыми данными, между условием и вопросом задачи, можно переходить к следующему этапу в обучении -- ознакомлению их с преобразованием прямых задач в обратные. Это даст возможность еще глубже усвоить математическую формулу задачи, специфику каждого типа задач. Воспитатель объясняет детям, что каждую простую арифметическую задачу можно преобразовать в новую, если искомое задачи взять за одно из данных новой задачи, а одно из данных преобразованной задачи считать искомым в новой задаче.

Такие задачи, где одно из данных первой является искомым во второй, а искомое второй задачи входит в данные первой, называются взаимно-обратными задачами.

Итак, из каждой прямой арифметической задачи путем преобразования можно сделать 2 обратные задачи.

Если дети при решении задач с первых шагов будут ориентироваться на существенные связи и отношения, то слова «стало», осталось» и другие не дезориентируют их. Независимо от этих слов дети правильно выбирают арифметическое действие. Более того, именно на этом этапе педагог должен обратить внимание детей на независимость выбора решения задачи от отдельных слов и выражений.

Ознакомление с прямыми и обратными задачами повышает познавательную активность детей, развивает у них способность логически мыслить. При решении любых задач дети должны исходить из вопроса задачи. Взрослый учит ребенка аргументировать свои действия, в данном случае аргументировать выбор арифметического действия. Ход мыслей при этом может идти по схеме: «Чтобы узнать... нам необходимо... потому что...» и т. д.

В группе седьмого года жизни детей можно будет ознакомить с новыми приемами вычислений -- на основе счета группами. Дети, научившись считать парами, тройками, могут сразу прибавлять число 2, а потом и 3. Однако спешить с этим не следует. Важно, чтобы у детей сформировались прочные, достаточно осознанные умения и навыки присчитывания и отсчитывания по единице.

В современных исследованиях по методике математического развития есть некоторые рекомендации к формированию у детей обобщенных способов решения арифметических задач. Одним из таких способов является решение задач по схеме-формуле. Это положение обосновано и экспериментально проверено в исследованиях Н. И. Непомнящей, Л. П. Клюевой, Е. А. Тархановой, Р. Л. Непомнящей. Предложенная авторами формула является схематическим изображением отношения части и целого. Работой, предшествующей этому этапу, является практическое деление предмета (круга, квадрата, полоски бумаги) на части. То, что дети делают практически, воспитатель потом изображает в схеме-формуле (рис. 29). При этом он рассуждает так: «Если круг поделить пополам, то получится две половины. Если эти половины сложить, то образуется снова целый круг. Если от целого круга отнять одну часть, то получим другую часть этого круга. А теперь попробуем, прежде чем решать некоторые задачи (подчеркивается слово «некоторые»), определить, на что ориентирует нас вопрос в задаче: на нахождение части или целого. Неизвестное целое всегда находится сложением частей, а часть целого -- вычитанием».

Например: «Для составления узора девочка взяла 4 синих и 3 красных кружочка. Из скольких кружочков девочка составила узор?» Дети рассуждают так: «По условию задачи рисунок составлен из синих и красных кружочков. Это части. Надо узнать, из скольких кружочков составлен узор. Это целое. Целое всегда находится сложением частей (4 + 3 =)».

Для детей высокого уровня интеллектуального развития можно предлагать проблемные (косвенные) задачи. Ознакомление детей седьмого года жизни с задачами такого типа возможно и имеет большое значение для их умственного развития. На этой основе в дальнейшем будут формироваться умения осуществлять анализ арифметической задачи, объяснять ход решения, выбор арифметического действия. Косвенные задачи отличаются тем, что в них оба числа характеризуют один и тот же объект, а вопрос направлен на определение количества другого объекта. Трудности в решении таких задач определяются самой структурой и содержанием задачи. Как правило, в этих задачах есть слова, которые дезориентируют ребенка при выборе арифметического действия. Несмотря на то, что в условии задачи есть слова «больше», «прилетели», «старше» и др., следует выполнять обратное этому действие -- вычитание. Для того чтобы ребенок правильно сориентировался, воспитатель учит его более тщательно анализировать задачу. Чтобы выбрать арифметическое действие, ребенок должен уметь рассуждать, логически мыслить. Пример косвенной задачи: «В корзине лежало 5 грибков, что на 2 грибочка больше, чем их лежит на столе. Сколько грибочков лежит на столе?» Часто дети, ориентируясь на несущественные признаки, а именно на отдельные слова (в данном случае слово «больше»), спешат выполнить действие сложения, допуская грубую математическую ошибку.

Воспитатель подчеркивает особенности таких задач, предлагая вместе порассуждать так: «В условии задачи оба числа характеризуют один объект -- количество грибочков в корзине. В ней 5 грибочков и в ней же на 2 больше, чем на столе. Необходимо узнать, сколько грибочков на столе. Если в корзине на 2 больше, то на столе лежит на 2 грибочка меньше. Чтобы узнать, сколько их на столе, следует из 5 вычесть 2 (5-2 = ?)».

При составлении задач воспитатель должен помнить о том, что важно разнообразить формулировки в условии и вопросе задачи: насколько выше, тяжелее, дороже и т. д.

Наряду с решением арифметических задач детям предлагаются арифметические примеры, которые способствуют закреплению навыков вычислительной деятельности. При этом детей знакомят с некоторыми законами сложения.

Известно, что всегда легче выполнить сложение, если второе слагаемое меньше первого. Однако не всегда именно так предлагается в примере, может быть и наоборот -- первое слагаемое меньше, а второе больше (например, 2 + 1 = 1). В таком случае есть необходимость познакомить детей с переместительным законом сложения: 2 + 7 = 7 + 2. Сначала воспитатель показывает это на конкретных примерах, например на брусках. При этом он актуализирует знания детей о составе числа из двух меньших. Дети хорошо усвоили, что число 9 можно образовать (составить) из двух меньших чисел: 2 и 7 или, что тоже самое, 7 и 2. На основе многочисленных примеров с наглядным материалом дети делают вывод-обобщение: действие сложения выполнять легче, если к большему числу прибавить меньшее, а результат не изменится, если переставить эти числа, поменять их местами.

На протяжении учебного года достаточно провести 10--12 занятий по обучению детей решению арифметических задач и примеров (табл. 1).

Ниже представляем программное содержание этих занятий.

• 1. Ознакомить с понятием «задача». Условие и вопрос в задаче. Задачи-драматизации, задачи-иллюстрации первого типа. Числа в пределах 5, одно из чисел -- 1.
• 2. Закрепить понятие о структуре задачи. Решение задач с помощью картинок. Задачи второго типа. Знаки «+», «--», «=». Устные задачи. Числа в пределах 5, одно из чисел -- 1. Обучение приемам вычисления на основе понимания отношений между смежными числами.
• 3. Сравнение задач первого и второго типа. Самостоятельное составление задач по картинке, по числовым данным и по условию.
• 4. Задачи на сложение и вычитание чисел более 1 (2 = 1 + 1; 3=1 + 1 + 1). Задачи третьего типа -- на отношения между числами. Сравнение задач всех трех типов.
• 5. Взаимно-обратные задачи. Преобразование арифметических задач. Составление задач по числовому примеру 4 + 2; 4 - 2 всех трех типов.
• 6. Ознакомление с арифметическими примерами. Формирование навыков вычислительной деятельности. Составление задач по числовому примеру.
• 7. Решение задач в пределах 10 на основании состава числа из двух меньших чисел. Умение аргументировать свои действия. Алгоритм рассуждения при решении задачи -- от вопроса к условию.
• 8. Решение задач по формуле. Логика рассуждения от вопроса к условию задачи.
• 9. Косвенные задачи. Проблемные задачи. Решение арифметических примеров.
• 10. Нестандартные задачи (в стихотворной форме, шутки и др.). Связь с измерением и временными отношениями.
• 11. Решение задач на сложение с опорой на переместительный закон сложения. Решение задач по формуле.
• 12. Решение задач первого, второго и третьего типа. Логика рассуждения при решении задач. Графическое изображение содержания задачи. псевдоматематический арифметический числовой дитя

Итак, программа воспитания в детском саду и методика математического развития большое внимание уделяют проблеме обучения вычислительной деятельности. Однако только в результате целенаправленной систематической работы у детей формируются достаточно прочные и осознанные знания и навыки в вычислительной деятельности, а это является важной предпосылкой в овладении математикой в школе.

Вопросы и задания

• 1. Раскройте специфику счетной и вычислительной деятельностей, обоснуйте связь счета и вычисления.
• 2. Проанализируйте несколько альтернативных программ (или программ разных лет издания) с точки зрения их ориентировки на уровень интеллектуального развития каждого ребенка.
• 3. Составьте перспективный план на один квартал по ознакомлению старших дошкольников с вычислительной деятельностью. На его примере докажите развивающий характер обучения.
• 4. Каково ваше отношение к методике поэтапного развития вычислительной деятельности у детей дошкольного возраста?

Обобщение опыта.

Текстовые задачи в школьном курсе математики.

Арифметические способы решения задач.

Солдатова Светлана Анатольевна

учитель математики первой категории

МОУ Угличский физико-математический лицей

2017 г.

«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».

А.В.Шевкин

С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .

Задачи, в которых объекты - математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.

Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой - пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, - почти исключительно российский феномен.

Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики - линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.

К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.

А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.

Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.

В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.

Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение - абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!

Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.

Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого - Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:

1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;

2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;

3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.

Типы текстовых задач по способу решения.

Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.

Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика - самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт

камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному

результату):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Рассмотрим некоторые виды задач.

«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное - по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»

Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:

«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. - Как только ты перейдёшь через этот мост, - сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»

Вторая - классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.

«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю - половину остатка и ещё пол-яйца, третьему - половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»

В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это-арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.

Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.

Приведём ещё несколько примеров.

«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»

Решение: 1 (60:(10+10))=3(км/ч)

«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»

Рассмотрим решение данной задачи по действиям:

1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.

2) 60-5=55 (мин) - время, которое затратил пешеход на то же расстояние.

3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.

«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»

В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.

Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.

Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:

« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »

Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?

Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.

Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».

Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.

1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности (на «части»).

Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).

а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?

б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?

в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?

Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:

1) – приходиться на 42 страницы.

2) – 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.

3) – в книге.

В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.

в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге - и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?

г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?

д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».

е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.

Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.

2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.

а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.

Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:

С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:

б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?

– меньшее число.

Приём уравнивания применим и в задаче:

в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?

3. Задачи на «предположение».

Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.

а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?

Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?

Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)

Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.

Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.

- Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
2·35= 70(н.)
- Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

- Остальные не посчитаны - это передние лапы кроликов.

- Сколько их?
94 – 70 = 24(н.)
- Сколько же кроликов?
24:2 = 12
А фазанов?
35 – 12 = 23

Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:

б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?

в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?

г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.

Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:

д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов-втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»

Арифметическое решение - проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными- обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.

Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.

4. Задачи на движение.

Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче - не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».

Приведу условия и решение нескольких задач.

а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?

Решение:

1) на столько отстал второй поезд.

2) – скорость удаления.

3) был в пути первый поезд.

4) расстояние от Москвы до Твери .

б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?

Решение:

1) скорость удаления.

2) – на столько отстал второй самолёт.

3) скорость сближения.

4) столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.

5) (км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.

в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.

Решение:

Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.

1) скорость сближения.

2) – составляет скорость второго от скорости первого.

3) приходится на скорость сближения.

4) скорость первого автомобиля.

5) скорость второго автомобиля .

г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.

Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.

1) поезд проходит путь, равный длине моста.

2) – скорость поезда.

3) длина поезда.

д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.

Решение: 40 мин ч

1) отставание парохода.

2) – скорость удаления

2) – был в пути катер.

3) расстояние между пристанями.

Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.

5. Задачи на «бассейны».

Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.

Название данного типа даёт не без известная старинная задача:

а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?

Решение:

1) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.

2) (в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.

3) (в./ч) – общая скорость.

4) (ч) – заполнят водоём 3 трубы.

Можно предложить детям ещё одно интересное решение:

За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется ч.

Аналогичное решение имеет следующая задача:

б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).

в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)

Решение:

1) (ч) – выпивают в день вместе.

) (ч) – выпивает в день муж.

3) (ч) – выпивает в день жена.

4) (д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.

г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)

д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А? (ч) - будут работать вместе.

7) – потребуется для разгрузки баржи.

6. Задача Ньютона.

Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.

7) (п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.

Ответ: 20 коров.

В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.

В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.

Литература.

1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. - Вып. 6 - С. 8-28.

2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.

3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.

4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.

Дистанционное обучение педагогов по ФГОС по низким ценам

Вебинары , курсы повышения квалификации , профессиональная переподготовка и профессиональное обучение . Низкие цены. Более 7900 образовательных программ. Диплом госудаственного образца для курсов, переподготовки и профобучения. Сертификат за участие в вебинарах. Бесплатные вебинары. Лицензия.